东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测

高三数学 （文科）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
，
集合
，则

（A）

（B）

（C）
（D）

（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间
上为增函数的是

（A）
（B）

（C）

（D）

（3）设
，则“
”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）当
时，执行如图所示的程序框图，

输出的
值为

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）已知
，
，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧
，
间的距离，某同学首先选定了与
，
不共线的一点
，然后给出了四种测量方案：（△
的角
，
，
所对的边分别记为
，
，
）

①测量
，
，
②测量
，
，
③测量
，
，
④测量
，

，

则一定能确定
，
间距离的所有方案的序号为

（A）①②③ （B）②③④

（C）①③④ （D）①②③④

（7）已知向量
，
，平面上任意向量
都可以唯一地表示为

，则实数
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）已知两点
，
，若直线
上至少存在三个点
，使得△
是直角三角形，则实数
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30
分。

（9）已知抛物线的方程为
，则其焦点到准线的距离为________．

（10）若
,则
________．

（11）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为 cm．

（12）已知
，
满足
则
的最大值为_______．

（13）设函数
则
=________；若函数
存在两个零点，则实数
的取值范围是_______
_．

（14）某商场对顾客实行购物优惠
活动，规定购物付款总额要求如下：

①如果一次性购物不超过
元，则不给予优惠；

②如果一次性购物超过
元但不超过
元，则按标价给予
折优惠；

③如果一次性购物超过
元，则
元按第②条给予优惠，剩余部分给予
折优惠．

甲单独购买
商品实际付款
元，乙单独购买
商品实际付款
元，若丙一次性购买
，
两件商品，则应付款________ 元．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步
骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数
（
）的最大值为
，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
.

（Ⅰ）求
的解析式及最小正周期；

（Ⅱ）设
，且
，求
的值.

（16）（本小题共13分）

已知数列
是等差数列，数列
是公比大于零的等
比数列，且
，
．

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）记
，求数列
的前
项和
.

（17）（本小题共14分）

在三棱锥
中，
底面
，
，
为
的中点，
为
的中点，点
在
上，且
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）若
，求三棱锥
的体积．

（18）（本小题共13分）

为普及宪法知识，某中学举行
了首届“宪法知识大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为
）进行统计.按照
，
，
，
，
的分组作出频
率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

（Ⅰ）求样本容量
和频率分布直方图中的
，
的值；

（Ⅱ）在选
取的样本中，从竞赛成绩在
分以上（含
分）的学生中随机抽取两名学生参加“全民宪法知识大赛”，求所抽取的两名学生中至少有一人得分在
内的概率．

（19）（本
小题共13分）

已知椭圆
：
，椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，与
有相同的离心率，且过椭圆
的长轴端点.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设
为坐标原点，点
，
分别在椭圆
和
上，若
，求直线
的方程.

（20）（本小题共14分）

已知函数
，
，
.

（Ⅰ）若
在
处与直线
相切，求
，
的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求
在
上的最大值；

（Ⅲ）若不等式
对所有的
，
都成立，求
的取值范围.