丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习 2015.01

高三数学（文科）

第一部分（选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．在复平面内，复数
对应的点的坐标是

(A) (-1,1)

(B) (-1, -1)

(C) (1, -1)

(D) (1,1)



2．等差数列{an}的前n项和为Sn，如果a1=2，a3+ a5=22，那么S3等于

(A) 8

(B) 15

(C) 24

(D) 30



3．命题p：
x>0，
，则
是

(A)

，

(B)

，



(C)

，

(D)

，



4．已知
，
，
，则a，b，c的大小关系是

(A) a > b > c

(B) c > b > a

(C) c > a >b

(D) a>c>b



5．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设
，
分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，
，
分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有

(A)
，

(B)
，



(C)
，

(D)
，



6．已知函数
（b>0且b≠1）的图象如图所示，那么函数
的图象可能是

(A)



(B)





(C)



(D)



7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是

(A)



(B)





(C)



(D)



8．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点A在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是

(A) {1，2}

(B) {1，2，3}

(C) {0，1，2}

(D) {0，1，2，3}





第二部分（非选择题 共110分）

一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知集合
，
，则
．

10．已知向量
，且
，
，那么实数x= ；
．

11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．

12．如果变量x，y满足条件
且
，那么z的取值范围是___．

13．已知圆C：
，那么圆心坐标是 ；如果圆C的弦AB的中

点坐标是(-2，3)，那么弦AB所在的直线方程是___．

14．设函数
与
是定义在同一区间
上的两个函数，如果函数
在区间
上有
个不同的零点，那么称函数
和
在区间
上为“
阶关联函数”．现有如下三组函数：

①
，
；

②
，
； ③
，
．

其中在区间
上是“
阶关联函数”的函数组的序号是___．（写出所有满足条件的函数组的序号）

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值和最小值，及相应的x的值．

16.（本小题共13分）

某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．

（Ⅰ）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；

（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80,90)内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60,70)内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；

（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内 (只需写出结论) ．

（注：将频率视为相应的概率）

17.（本小题共14分）

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．

（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；

（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；

（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S-ABC的体积．

18.（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的极小值；

（Ⅱ）过点
能否存在曲线
的切线，请说明理由．

19.（本小题共14分）

在平面直角坐标系
中，椭圆
：
的一个顶点为
，离心率为
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）直线
过点
，过
作
的平行线交椭圆
于P，Q两点，如果以PQ为直径的圆与直线
相切，求
的方程．

20.（本小题共13分）

已知数列
的前
项和
满足
，
，
．

（Ⅰ）如果
，求数列
的通项公式；

（Ⅱ）如果
，求证：数列
为等比数列，并求
；

（Ⅲ）如果数列
为递增数列，求
的取值范围．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习2015．01

高三数学（文科）答案及评分参考

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

B

D

B

C

A

C



二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．{3，4} 10．2；
11．4

12．
13．
；
14．①③

注：第10，13题第一个空2分；第二个空3分。

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15. 解：（Ⅰ）

．

所以
． …………………7分

（另解）

． …………………2分

（Ⅱ）因为
，

所以
．

所以 当
，即
时，
；

当
，即
时，
． …………………13分

所以当
时，
；当
时，
．

16. 解：（Ⅰ）

估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为1-0.15=0.85 …………………3分

（Ⅱ）从这5位学生代表中任选两人的所有选法共10种，分别为：AB，AC ，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．代表M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为： AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN．

设“学生代表M，N至少有一人被选中”为事件D，

． …………………11分

答：学生代表M，N至少有一人被选中的概率为
．

（Ⅲ）样本的中位数落在分组区间[70,80)内． …………………13分

17. （Ⅰ）证明：取SD中点F，连结AF，PF．

因为 P，F分别是棱SC，SD的中点，

所以 FP∥CD，且FP=
CD．

又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，

所以 AQ∥CD，且AQ =
CD．

所以 FP//AQ且FP=AQ．

所以 AQPF为平行四边形．

所以 PQ//AF．

又因为
平面
，

平面
，

所以 PQ//平面SAD ． …………………5分

（Ⅱ）证明：连结BD，

因为 △SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，

所以 SE⊥AD．

又 平面SAD⊥平面ABCD，

平面SAD
平面ABCD=AD，

SE
平面
，

所以 SE⊥平面ABCD，

所以SE⊥AC．

因为 底面ABCD为菱形，

E，Q分别是棱AD，AB的中点，

所以 BD⊥AC，EQ∥BD．

所以 EQ⊥AC，

因为 SE
EQ=E，

所以 AC⊥平面SEQ． …………………11分

（Ⅲ）解：因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，

所以
=
=
．

因为SA=AD=SD=2，E是AD的中点，所以SE=
．

由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，

所以三棱锥S-ABC的体积
=
． …………………14分

18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R．

因为
，

所以
．

令
，则
．



0







-

0

+





↘

极小值

↗



所以
． …………………6分

（Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为
，

则切线方程为

即

将
代入得
．

方程
有解，等价于过点
作曲线
的切线存在．

令
， 所以
．

当
时，
．

所以 当
时，
，函数
在
上单调递增；

当
时，
，
在
上单调递减．

所以 当
时，
，无最小值．

当
时，方程
有解；

当
时，方程
无解．

综上所述，当
时存在切线；当
时不存在切线． ………………13分

19. 解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点在x轴上，

因为
，
，

所以
，
．

所以 椭圆的方程为
． …………………4分

（Ⅱ）依题意，直线
的斜率显然存在且不为0，设
的斜率为
，

则可设直线
的方程为
，

则原点
到直线
的距离为
．

设
，
，

则
消y 得
．

可得
，
．

因为 以
为直径的圆与直线
相切，

所以
，即
．

所以
，

解得
．

所以直线
的方程为
或
． …………………14分

20. 解：（Ⅰ）
时，
，

当
时，
，

当
时，
，

所以
． …………………3分

（Ⅱ）证明：当
时，
，

，

相减得