昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷(文科) 2015.1

考生注意事项：

1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．

2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔．

3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．

4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

1. 已知集合
则
等于

A.
B.
C.
D.

2．下列函数中，在区间(0，
)上是减函数的是

A．
B．
C．
D．

3. 在
中，
，则
等于

A.
B.
C.
D.

4．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是

A．

B．

C．

D．

5. “
”是“
”的

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是

A. 若
，
，则
B. 若
，
，则

C. 若

，
，则
D. 若
，
，则









7. 某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨

10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用)是

A. 略有盈利 B. 略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况

8. 已知数列
满足
且
其前
项之和为
，则满足不等式
成立的
的最小值是

A.7 B.6 C.5 D.4

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．

9. 计算：
= .（
为虚数单位）

10. 执行如图所示的程序框图，如果输入
，那么输出的结果

是 ，如果输入
，那么输出的结果是 ．

11. 设
，
满足约束条件
则
的最大值是 .

12. 平面向量
与
的夹角为
，
，
，则
= .

13. 双曲线
的离心率是_________；若抛物线
与双曲线
有相同的

焦点，则
_____________.

14. 在下列函数①
②
③
④
⑤
中，满足“对任意的
，

，则
恒成立”的函数是________.(填上所有正确的序号)

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15.（本小题满分13分）

已知函数

(I) 求函数
的最小正周期；

(II)当
时，求函数
的最大值及取得最大值时的
值．

16.（本小题满分13分）

有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：

（I）求频率分布直方图中
的值；

(Ⅱ) 分别求出成绩落在
中的学生人数；

（III）从成绩在
的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在
中的概率．

17.（本小题满分13分）

在等比数列
中，
.

（I）求等比数列
的通项公式；

（II）若等差数列
中，
，求等差数列
的前
项的和
，并求
的最大值.

18. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
为
的中点，
底面
.

（I）求证：
平面
;

（II）在线段
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由.

19. （本小题满分14分）

已知函数

（I）求函数
的最大值；

（Ⅱ）设
其中
，证明:
＜1.

20. （本小题满分13分）

已知椭圆C：
的离心率为
，其四个顶点组成的菱形的面积是
，O为坐标原点，若点A在直线
上，点B在椭圆C上，且
.

（I） 求椭圆C的方程；

（II）求线段AB长度的最小值；

（III）试判断直线
与圆
的位置关系，并证明你的结论.

昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷(文科)参考答案及评分标准 2015.1

选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

D

D

A

B

B

C





二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)

9.
10. 10 ； 4 11. 2

12. 2 13.
;
14. ① ③

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
………… 4分

………… 6分

所以
. 　　 ………… 7分

（Ⅱ）因为
，
，

所以
． …………9分

所以当
即
时，

函数
的最大值是2. …………13分

16.（本小题满分13分）

解：（I）由题意
，
. ………3分

（II）成绩落在
中的学生人数为
，

成绩落在
中的学生人数

成绩落在
中的学生人数
. ……………6分

（III）设落在
中的学生为
，落在
中的学生为
，

则
，基本事件个数为
，

设A＝“此2人的成绩都在
”，则事件A包含的基本事件数
，

所以事件A发生概率
. ……………13分

17.（本小题满分13分）

解：（I）在等比数列
中，设公比为
，

因为
,

所以
得

所以 数列
的通项公式是
. ……………5分

（II）在等差数列
中，设公差为
.

因为
,

所以


……………9分

方法一

，

当
时，
最大值为72. ……………13分

方法二

由
,当
,解得
,即

所以当
时，
最大值为72. ……………13分

18. （本小题满分14分）

证明：（I）在
中，

又因为
，

所以
. 又因为
,

所以
. ……………6分

（II）存在.当
为
中点时，
. ……………7分

证明：设
的中点分别为
，连结
,

的中点，

所以
.

的中点，

所以
,

,

所以 四边形
是平行四边形,

所以
.

因为
，
，

所以
. ……………14分

19. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
…………………2分

当
时，f?(x)＞0，f(x)单调递增； …………………4分

当
时，f?(x)＜0，f(x)单调递减． …………………6分



0







＋

0

－





↗

极大值

↘



所以f(x)的最大值为f(0)＝0． …………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
时，
…………………9分

当
时，
等价于

设
，则
．

当
时，
则

从而当
时，
，
在
单调递减．…………………12分

当
时，

即
，

故g(x)＜1．

综上，总有g(x)＜1． …………………14分

20. （本小题满分13分）

解：（I）由题意
，解得
.

故椭圆C的标准方程为
. ……………3分

（II）设点A，B的坐标分别为
，其中
，

因为
，所以
，即
， ……………4分

解得
，又
，

所以

=

=

=
=
，……………5分

因为
，当且仅当
时等号成立，所以
，

故线段AB长度的最小值为
. ……………7分

（III）直线AB与圆
相切. ……………8分

证明如下：

设点A,B的坐标分别为
，