北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（文史类） 2015.1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 设
为虚数单位，则复数
的模
=

A.　1 B.
C.　
D.

2. 已知全集

，若集合
，则

A.
，或
B.
，或
C.
D.

3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

A.
B.
C.
D.

4.执行如右图所示的程序框图,则输出的
的值是

A.3 B.4 C.5 D.6

5.若
是两个非零的平面向量，则 “
”是“
”的

A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 如图，塔
底部为点
，若
两点相距为100m并且与点
在同一水平线上，现从
两点测得塔顶
的仰角分别为
和
，则塔
的高约为（精确到0.1m，
，
）

A. 36.5 B. 115.6 C. 120.5 D. 136.5

7.已知定义在
上的函数
若直线
与函数
的图象恰有两个公共点，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在正方体中
，
为
的中点，点
在四边形
及其内部运动．若
，则
点的轨迹为

A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D.双曲线的一部分

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．

9. 双曲线
的离心率是 ；渐近线方程是 ．

10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表

如下:

按家庭人均月收入分组(百元)

第一组

第二组

第三组

第四组

第五组

第六组



频率

0.1

0.2

0.15



0.1

0.1



则这80户居民中, 家庭人均月收入在
元之间的有 户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 .

11. 已知圆
的圆心位于第二象限且在直线
上，若圆
与两个坐标轴都相切，则圆
的标准方程是 ______.

12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人.

13. 在平面直角坐标系中，若关于
的不等式组
表示一个三角形区域，则实数
的取值范围是______.

14. 设
（
），若无论
为何值，函数
的图象总是一条直线，则
的值是______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

某幼儿园有教师
人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：

本科

研究生

合计



35岁以下

5

2

7



35～50岁（含35岁和50岁）

17

3

20



50岁以上

2

1

3



（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；

（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率.

16. （本小题满分13分）

已知平面向量

，

，

，
，

函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调递减区间；

（Ⅱ）若
，求
的值.

17. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
平面
．点
是线段
的中点，点
是线段
上的动点．

（Ⅰ）若
是
的中点，求证：
//平面
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）若
，
，当三棱锥
的体积等于
时，试判断点
在边
上的位置，并说明理由.

18.（本小题满分13分）

已知公比为
的等比数列

中，
，前三项的和为
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，设数列
满足
，
,求使
的
的

最小值.

19. （本小题满分13分）

已知函数
，
.

（I）若
是
的极值点，求
的值：

（Ⅱ）当
时，求证：
.

20. （本小题满分14分）

已知离心率为
的椭圆
与直线
相交于
两点（点
在
轴上方），且
．点
是椭圆上位于直线
两侧的两个动点，且
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）求四边形
面积的取值范围．

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学答案（文史类） 2015.1

一、选择题：（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

D

B

C

D

 B

A



二、填空题：（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案


；





22



4



（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：（满分80分）

15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件
，

由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.

则
.

答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为
. ………4分

（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为
，
，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为
，
，
， 50岁以上具有研究生学历的教师为
，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：

（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），

（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），

（
，
），

记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件
，则
中的结果共有12个，它们是：（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），故所求概率为
．

答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为
. ………………13分

16.（本小题满分13分）

（Ⅰ）因为

，

，

，

所以
，

=
.

则

=

.

则当
时，即
时，

函数
为减函数，
.

所以函数
的单调递减区间是
，
.

………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，又
，

则
，
.

因为
，所以
.

.

所以当
时，

；

当
时，

.

………………13分

17. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：

在
中，因为点
是
中点，点
是
中点，

所以
//
．

又因为
平面
，
平面
，

所以
//平面
．…………4分

（Ⅱ）证明：

因为
平面
，

且
平面
，

所以
．

又因为底面
是正方形，且点
是
的中点，

所以
．

因为
，所以
平面
，

而
平面
，所以
． …………9分

（Ⅲ）点
为边
上靠近
点的三等分点．

说明如下：

由（Ⅱ）可知，
平面
．

又因为
平面
，
平面
，所以
.

设