考试时间：120分钟 试题分数：150分 命题人：崔东丽

参考公式：

球表面积公式
，其中为球的半径．

柱体体积公式
，其中
为底面积，
为高．

第Ⅰ卷

一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如果复数
为纯虚数，则实数的值( )

A．1或2 B．1 C．2 D．不存在

2．已知全集
.集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.
3．函数
的图象是 （ ）

A B C D

4.下列有关命题的说法中错误的是（ ）

A．若“
”为假命题，则、均为假命题

B．“
”是“
”的充分不必要条件

C．“
” 是“
”的必要不充分条件

D．若命题p：“实数,使
”，则命题
为“对于
都有
”

5．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足(　　)

A．a＋b＝1　　　　B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0

6．在各项为负数的数列
中，已知2
，且
，则
是数列
的( ) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项

7.在平面直角坐标系中,不等式组
(是常数)所表示的平面区域的面积是9,那么实数的值为（ ）

A.
B.
C.
D.1

8.设函数
的最大值为3，则
的图象的一条对称轴的方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.三棱锥三条侧棱两两垂直，长度分别是1、
、2，则其外接球的表面积是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知向量
与
关于x轴对称，
，则满足不等式：
的点Z(x,y)的集合用阴影表示为（ ）

A B C D

11.在
的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p，则

A．1 B．
C．
D．

12.已知函数
，则（ ）

A．
是
的极大值也是最大值 B．
是
的极大值但不是是最大值

C．
是
的极小值也是最小值 D．
没有最大值也没有最小值

第Ⅱ卷

二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．

14．已知数列
的前项和为
，则该数列的通项公式为 。

15．经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆方程为 .

16.椭圆
的左右焦点分别为
，弦
过
，若
的内切圆周长为，
两点的坐标分别为
，则
值为 .

三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

（1）求证：A＝B；

（2求边长c的值；

（3）若
求△ABC的面积．

18．（本题满分12分）

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
得到的频率分布直方图如图所示

（1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若该校决定在第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，

①已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；

②学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官的面试，第4组中有
名学生被考官面试，求
的分布列和数学期望．

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，
与
的交点为
，为侧棱
上一点.

（Ⅰ）当为侧棱
的中点时，求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）当二面角
的大小为
时，试判断点在
上的位置，并说明理由.

20.已知椭圆的中心是坐标原点
，它的短轴长为
，一个焦点的坐标为
（
），一个定点的坐标为
，且
过点的直线与椭圆相交于
两点：

（1）求椭圆的方程和离心率；

（2）如果
,求直线
的方程。

21. (本小题满分12分)

求证：（1）

（2）

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4 – 1：几何证明选讲

如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD .

(Ⅰ)求证：DE是圆O的切线；(Ⅱ)如果AD =AB = 2，求EB .

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（为参数），曲线C的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点
，直线
与曲线C交于A、B两点．

(1)写出直线
的极坐标方程与曲线C的普通方程；

(2) 线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知不等式
的解集是。

（1）求实数的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当实数取得最大值时，试判断
是否成立？并证明你的结论。

CBACD/CDAAC/BA

13.3 14.

∵－π＜A－B＜π, ∴A－B＝0，∴A＝B.

（Ⅱ）∵
∴bccosA＝1. 由余弦定理得
，

即b2＋c2－a2＝2.

∵由（Ⅰ）得a＝b，∴c2＝2，∴
.

（Ⅲ）∵
＝，∴
即c2＋b2＋2＝6,

∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2, ∴b2＝2，即b＝
. ∴△ABC为正三角形.

∴

18、（1）第3组的频率为
；第4组的频率为
；

第5组的频率为

按分层抽样的方法在第3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人。

第3组共有
，设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件

，学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率为

可取值为

，
，

的分布列为

0

1

2















19、（Ⅰ）证明：连接
，由条件可得
∥
.

因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，
.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设四棱锥
的底面边长为2，

则
，
，
，
，

，
.

所以
，
.

设
（
），由已知可求得
.所以

，
.

设平面
法向量为
，

则
即

令
，得
.

易知
是平面
的法向量.

因为
，

所以
，所以平面
平面
.

（Ⅲ）解：设
（
），由（Ⅱ）可知，

平面
法向量为
.因为
，

所以
是平面
的一个法向量.

由已知二面角
的大小为
.所以
，所以
，解得
.所以点是
的中点.

21.证明略

22(Ⅰ)证：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC

由BC∥OD ?OD⊥AC

则OD是AC的中垂线? ∠OCA =∠OAC , ∠DCA =∠DAC ,

? ∠OCD = ∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO = 90o .

?OC⊥DE,所以DE是圆O的切线 .

(Ⅱ) BC∥OD?∠CBA = ∠DOA，∠BCA = ∠DAO ?△ABC∽△AOD

?
? BC =
=
=
?
?
?
? BE =

23.解（1）直线的极坐标方程
， ……3分

曲线普通方程
……5分

（2）将
代入
得
，……8分

……10分