福建省龙海一中2015届高三上学期第二次月考数学（理）

一、选择题（每小题各5分, 共50分）

1.抛物线
的准线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

2.设
则下列不等式一定成立的是（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 设
为直线，
是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

4．下面是关于公差
的等差数列
的四个命题：

数列
是递增数列；
数列
是递增数列；

数列
是递增数列；
数列
是递增数列；

其中的真命题为（ ）

A.
B.

C.
D.

5．已知
满足条件
（
为常数），若目标函数
的最大值为8 ，则
等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

6．设
为单位向量，
的夹角为
，则
的最大值为( )

A.
B.
C.
D.

7．设P是椭圆
上任意一点，A是椭圆的左顶点，F1，F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，则
的最大值为 （ ）

A．8 B．16 C． 12 D．20

8.函数


的部分图象如图所示,如果
,且
,则
等于(　 　)

A .
B.
C.
D.

9．如图，在正方体
中，若平面
上一动点

到
和
的距离相等，则点的轨迹为（ ）

A．椭圆的一部分 B．圆的一部分

C．一条线段 D．抛物线的一部分

10.如右图，等腰梯形
中，
平行于
且
,
,设
，
，以
为焦点且过点的双曲线的离心率为
，过点
为焦点且过点的椭 圆的离心率为
，则下列叙述正确的是( ? )

A,当
增大时，
增大，
为定值。 ? ? ?

B。当
增大时，
减小，
为定值。?? ? ? ? ? ? ?

C.当
增大时，
增大，
也增大 ? ? ? ? ? ? ? ? ??

D当
增大时，
减小，
也减小。

二、填空题（每小题各4分, 共20分）

11.两直线
，

若
，则
；

12. 双曲线
的顶点到渐进线的距离等于 ;

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ;

14．已知
,且
,若
恒成立,则实数的最大值是　　　　.?

15. 已知数列
的通项公式为
，我们用错位相减法求其前项和
：

由
得

两式项减得：
，

求得
。类比推广以上方法，若数列
的通项公式为
，

则其前项和
.

三．解答题：（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤．共80分）

16．（本小题13分）设：实数满足
（其中
），：实数x满足

（I）若
，且∧为真，求实数的取值范围；

（II）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

17．（本小题13分）已知向量

（I）若
的值；

（II）记
，在
中，角A、B、C的对边分别是
，且满足
，求
的取值范围。

18. （本小题13分）已知数列
是等差数列，
；数列
的前n项和是
，且
．

(1) 求数列
、
的通项公式；

(2) 记
，
的前n项和为
，若
对一切
都成立，求最小正整数的值。

19．（本小题13分）如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，
,
,平面
⊥底面
.

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)若
，求二面角
的余弦值.

20．（本小题14分）如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆
与椭圆
相似，且椭圆
的一个短轴端点是抛物线
的焦点.

（Ⅰ）试求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线
与椭圆
交于
两点，且与椭圆交于
两点.若线段
与线段
的中点重合，试判断椭圆
与椭圆是否为相似椭圆？并证明你的判断.

21．（本小题14分）已知函数

（I）求函数
的单调区间；

（II）若
，试回答下列两个问题

（i）若不等式
对任意的
恒成立，求的取值范围；

（ii）若
是不相等的两个正数，且
，求证：

龙海一中2015届高三数学（理科）第二次月考答案

一、D D A C C A B C D B

11.
12.
13. +
14. 51

16. (I)当
，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.……2分

q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3. ……………………3分

若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是(2,3)． ……………………6分

（II）设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} ＝(2,3)，

p是q的必要不充分条件，则
……………………7分

由
得
， ……………………8分

当
时，A＝
，有
，解得
； ……………………10分

当
时，A＝
，显然A∩B＝?，不合题意． ……………………12分

∴实数a的取值范围是
． ……………………13分

=
．…………6分

（2）∵（2a-c）cosB=bcosC,

由正弦定理得
,

故f（A）的取值范围是（2,3）…………13分

(Ⅰ)在
中
, 由余弦定理得

从而BD2+AD2= AB2，故

;

又平面
底面
，平面

底面

,
面

所以
平面
.
面
，故

18解：(1)设
的公差为
，则：
，
，

，
……………………1分

解得：
．　………………………………………2分

．………………………………3分

当
时，
，由
，得
．……4分

当
时，
，

∴
，即
．　 ∴
．……6分

∴
是以
为首项，
为公比的等比数列．……………………7分

． 　………………8分

（2）
　…………10分

∴
…………11分

由已知得
…………13分

19.（Ⅱ）
,
,

,由(Ⅰ)可知
平面
,
平面
,

如图，以为坐标原点，
的长为单位长，分别以
为轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系

则
,
,
,
.

设平面PAB的法向量为
=（x,y,z），则
, 即

因此可取
=

设平面PBC的法向量为
，则

可取
=（0，-1，
），

故二面角A-PB-C的余弦值为
.

20. 解析：（Ⅰ）椭圆
的离心率为
， ……1分

抛物线
的焦点为
. ……2分

设椭圆
的方程为
，

由题意，得：　
，解得
，　　

∴椭圆
的标准方程为
. ……5分

（Ⅱ）解法一：椭圆
与椭圆是相似椭圆. ……6分

联立椭圆
和直线
的方程，
，消去，

得
， ……7分

设
的横坐标分别为
，则
. ……8分

设椭圆的方程为
， ……9分

联立方程组
，消去，得
,

设
的横坐标分别为
，则
. ……10分

∵弦
的中点与弦
的中点重合， ……11分

∴

，

，

∵
，∴化简得
， ……12分zxxk

求得椭圆的离心率
，……13分

∴椭圆
与椭圆是相似椭圆.

解法二：设椭圆的方程为
，

并设
.

∵
在椭圆
上，

∴
且
，两式相减并恒等变形得
. ……8分

由
在椭圆上，仿前述方法可得
. ……11分

∵弦
的中点与弦
的中点重合，

∴
， ……12分

求得椭圆的离心率
，……13分

∴椭圆
与椭圆是相似椭圆.