贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷（二）

理科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

3．命题
为假命题；命题
为真命题，∴
为真命题，故选C．

4．由题知，这个几何体是圆柱，

，故选B．

5．
，故选C．

6．
，
，故选D．

7．由题知，
即
作出不等式组表示的平面区域如图1阴影部分所示，要
恒成立，只需
即可．设
，则
．由图知当直线
经过点时，截距最小，此时最大．由
解得
，
，但取不到，
，故选C．

8．
，
，
．

故选D．

9．设

，
，

故选A．

10．
，以OA，OB为邻边的平行四边形为矩形， OA⊥OB，所以
，圆心
到直线
的距离为
，即
，解得a=2或?2，故选C．

11．把四面体ABCD构补成一个长方体，如图2所示，设长方体的长，宽，高分别为x，y， z，由
得
，

四面体ABCD的外接球的直径等于长方体的对角线长，

，
，故选B．

12．构造函数
，明显
是奇函数，

又
> 0恒成立，函数
在R上是增函数.

，

，

，
，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

5），（5，1），（5，3），（5，5），共有9种可能， mn是奇数的概率为
，因此mn是偶数的概率为
．

14．由正弦定理得，
，
，

，即
，

，
，
，
.

15．根据题意，
若函数
在R上有且只有两个零点，即直线
与
有两个交点，故
．

16．
，

而
．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：
，
,

，又
，
，

数列
是以
为首项，
为公比的等比数列．………………………………（6分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
，即
，
．

设
，①

则
，②

由①②得
，

．又
，

数列
的前n项和
．……………………………………（12分）

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）记“这2人来自同一区域”为事件E，那么
，

所以这2人来自同一区域的概率是
．…………………………………………………（4分）

（Ⅱ）随机变量X可能取的值为0，1，2，且

，
，
，……………（8分）

所以X的分布列为

X

0

1

2



P









所以X的数学期望为
．…………………………（12分）

19.（本小题满分12分）

方法一：（Ⅰ）证明：如图3，设
与
相交于点P，连接PD，则P为
的中点，

D为AC的中点， PD//
．又PD平面
，

//平面
．……………………………………………（4分）

（Ⅱ）解：
底面
，

是
在平面
内的射影.

又
，
，

就是二面角
的平面角.

在Rt△A1AD中，
，
,

，
,

即二面角
的大小是
．……………………………………………………（8分）

（Ⅲ）解：如图3，由（Ⅱ）作
，M为垂足.

，平面
平面ABC，平面
平面ABC =AC，

直线
与平面
所成角的正弦值为
．…………………………………（12分）

方法二：（Ⅰ）同方法一．

（Ⅱ）如图4建立空间直角坐标系，

则
，
，
，
，
，

，
，

设平面
的法向量为
，

则

则有
得
，

由题意知，
是平面ABD的一个法向量．

设
与
所成角为，则
，
，

二面角
的大小是
．……………………………………………………（8分）

（Ⅲ）由已知，得
，
，

设
与平面
所成角为，则
，

直线
与平面
所成角的正弦值为
．……………………………………（12分）

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为
．

，
，
构成等差数列，
，

而由椭圆定义，
，
，
．

又
，
．

椭圆C的方程为
．…………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）如图5，将直线l的方程
代入椭圆C的方程
中，

得
．……………………………………………………（5分）

由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，
，

化简得：
．

设
，
，…………………………………………（8分）

方法一：当
时，设直线l的倾斜角为，

则
，

，

，…………………………………………………………………（10分）

，当
时，
，
，
．

当
时，四边形
是矩形，
．

所以四边形
面积S的最大值为
．………………………………………（12分）

方法二：
，

．

．

四边形
的面积
，………………………（10分）

．

当且仅当
时，
，
，故
，

所以四边形
的面积S的最大值为
．………………………………………（12分）

（Ⅱ）
，则
，

题意即为
有两个不同的实根
，
，

即
有两个不同的实根
，
，

等价于直线y=a与函数
的图象有两个不同的交点．

，
在
上单调递减，在
上单调递增，

所以，

当
时，
，
存在，且
的值随着a的增大而增大，而当
时，由题意

两式相减可得
，
，

代入方程
可得
，

此时
，

所以，实数a的取值范围为
．…………………………………（12分）

22. （本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】

（Ⅰ）证明： AC∥DE，∠CDE=∠ACD.

又DE切圆O于点D，∠CDE=∠CBD，

∠CBD=∠ACD，而∠ACD=∠ABD，

∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC．………………………………………………（5分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ABD=∠CBD，又∠CBD=∠CAD，

∠ABD=∠CAD，又∠ADH为公共角，

△ABD∽△HAD，
.

AB=4, AD=6, BD=8， AH =3．……………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）由点M的极坐标为
，得点M的直角坐标为（4，4），

所以直线OM的直角坐标方程为
．………………………………………………（5分）

（Ⅱ）将曲线C的参数方程
（为参数），化成普通方程为：
，

圆心为
，半径为
．………………………………………………………（8分）

由于点M在曲线C外，

故点M到曲线C上的点的距离的最大值为
．………………………（10分）