贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷（一）

理科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

D

A

D

A

A

B

A

B

D



【解析】

1．
，
，∴
，故选B．

2．∵
，∴
是纯虚数，则有
，故选A．

3．A. 命题“
，使得
”的否定应该是“
，均有
”．

B. 一个命题的否命题是同时否定条件与结论，那么命题“若
，则
”的否命题是：“若
，则
”．

C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题．如：内角不含直角的菱形.

D. 命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”．∵
，但
，∴“若
，则
”的逆否命题是假命题，故选B．

4．若输入
，那么
，则输出
；若输入
，则输出
，故选D．

5．①若
则与
包含直线与平面的所有关系，所以①错误；

②若
则
或
，所以②错误；

③若
，则
或
，所以③错误；

④若
，则
，所以④正确．故真命题的个数为1，故选A．

6．∵
均为正实数，∴
， 而
，∴
，∴
．又
且
，由图象可知
，
，故
，故选D．

7．
，则
，其展开式中的第4项为
，其系数为
，故选A．

8．显然函数
是偶函数，且
在
上恒为负数，即函数在

内单调递减，∴
，故选A．

9．先从6人中选4人到四个景点游览共有
种选法，再减去甲或乙去西江苗寨游览的种数
，共有
种选择方案，故选B．

10．双曲线
的一条渐近线方程是
，由题意圆
的圆心到
的距离不小于1，即
，则
，那么离心率
，故选A.

11．由题目可知约束条件表示的图象是圆
与直线
在一、二象限所围成的区域，当且仅当直线
与一象限圆弧相切时，
，故选B．

12．由题意可得：
，即函数
为周期为的周期函数，又
是偶函数，所以，在同一坐标系内，画出函数
与
的图象，观察它们在区间
上的交点个数，就是方程
在
上根的个数，而交点个数是10，故选D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号

13

14

15

16



答案



4



③④



【解析】

13．该几何体是一个四棱锥，其体积是

14．方法一：设
，由题意

，则
的最小值为4．

方法二：由题目可知，当
，即
时，
的最小值为4．

15．
，由题意
有2个不等实根，则
，即
，又
的取法共有
种，而满足
的有

共6种，故所求的概率为
．

16．①若
，则
；

②若
，则
；

③若
，则

；

④若
，则
．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，函数
的周期为
，

所以
. ……………………………………………………（2分）

又因为
，即
，由
，可知
，

所以函数的解析式为
（或者
）． ……………（4分）

（Ⅱ）∵
，∴
或
．

当
时，在
中，由正弦定理得，
，

∴
，

∵
，∴
，∴
，

∴
，

∴
．

当
时，同理可求得
.

………………………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图1，连接
，则
，

而

，那么
.

又
，

∴
，而
，

∴
…………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）解：方法一：如图1，连接
，由（Ⅰ）可知
，

连接
，由
可知
，

所以，
为二面角
平面角的补角， ………………………（8分）

且由
可算出

故二面角
的大小为
． ………………………（12分）

方法二：（向量法）

由题意，为原点，分别以
为
轴建立如图2所示的空间直角坐标系，

那么，
，

由（Ⅰ）可知平面
的法向量
， …………………（8分）

设平面
的法向量为
，

，
，

由

∴
．

故
，

由图可知二面角
的大小是钝角
. ……………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量
，

． ………………………（3分）

（Ⅱ）由题意可知，分数在
的学生有5人，分数在
的学生有2人，共7人.

抽取的3名学生中得分在
的学生个数
的可能取值为1，2，3， …………（6分）

所以
的分布列如下表：

1

2

3



P









所以，
． ……………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知得半焦距

?则

所以椭圆的方程为
……………………………………………（4分）

（Ⅱ）△
与△
的面积之比为1等价于点是
的中点， ……………（6分）

当直线斜率不存在时，
，符合题意，可知直线的方程是
；………（8分）

当直线斜率存在时，设直线的方程为
，

由
消并整理得
， ………………（10分）

设
，
，由题意有：
，

解得
，不合题意，

综上可知，存在直线：
满足题意． ………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：
，
，

∴
是上的奇函数． ……………………………………………………………（2分）

（Ⅱ）解：由题意，
，即
．

∵
，∴
，

即
对
恒成立，

令
，则
对任意
恒成立．

∵
，

当且仅当
时等号成立，

∴
． …………………………………………………………………（6分）

（Ⅲ）解：
，当
时
，∴
在
上单调递增，

令
，
，∵
，∴
，

即
在
上单调递减，

∵存在
，使得
，

∴
，即
．

∵
，

设
，则
，

当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减，

因此
在
时至多有两个零点，而
．

∴当
时，
，
；

当
时，
，
；

当
时，
，
． …………………………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】

（Ⅰ）证明：如图3，∵
是切线，
是弦，∴
．……………………（2分）

又∵
，

∴
．

∵

，

∴
． ………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
且
，

∴

，∴
， ……………………………………………（7分）

∵
，∴
，

由三角形内角和定理可知：

．

∵
是圆O的直径，∴
，

∴
，

∴
． ………………………………………（9分）

在
中 ，
，∴
． ……………………………（10分）