一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）

1. 已知集合
，则集合
= （ ）

A.
B.
C.
D.

2.
是“
”的 ( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 对一个容量为
的总体，抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为
，则 （ ）

4．若函数
存在反函数，则方程
（为常数） ( )

A.有且只有一个实根 B.至少有一个实根 C.至多有一个实根 D.没有实根

5. 等差数列
的公差是2，若
成等比数列，则
的前项和
（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 某公司
位员工的月工资（单位：元）为
，
，…，
，其均值和方差分别为
和
，若从下月起每位员工的月工资增加
元，则这
位员工下月工资的均值和方差分别为( )

A.
，
B.
，
C.
，
D.
，

7．将函数
的图像上所有的点向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （ ）

A．
B.

C.
D.

8．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 ( )

A.
B.
C.
D.

9. 已知圆
，过圆心
的直线与抛物线
及圆
的交点依次为
，则
的取值范围为 （ ）

A．
B.
C.
D.

10．已知方程
的四个根组成一个首项为
的等差数列，则
=

A.1 B.
C.
D.

11. 已知向量
若函数
在区间
上存在增区间，则实数t的取值范围为 （ ）

A.
B.
C.
D.

12. 已知正方体
的棱长为1，点是平面
内的动点，若点到直线
的距离等于点到直线
的距离，则动点的轨迹所在的曲线是 （ ）

A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆

二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 为了了解
名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为
的样本，则分段的间隔为______________.

14. 设
是不同的直线，
是不同的平面，则以下四个命题中错误的有____________.

① 若
，则
② 若
，则
；

③ 若
，则
④ 若
，则∥
.

15. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为 。

16. 已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且
轴，则双曲线的离心率为 。

三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. （本题满分12分）已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量
,

,

(1) 若
//
，求证：ΔABC为等腰三角形；

若
⊥
，边长c = 2，角C =
，求ΔABC的面积 .

18. （本题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）

（1）应收集多少位女生样本数据？

（2） 根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.

(3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的
列联表，并判断是否有
的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

附：

0.05

0.010

0.005





3. 841

6.635

7.879





19. （本题满分12分）如图，四棱锥
中，
为矩形，
为等腰直角三角形，
，平面
平面
，
分别是
和
的中点。

(1) 证明:
面
； (2) 证明:面
面
；

(3) 求四棱锥
的体积.

20. （本小题满分12分）已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆
相切，过点P(－4,0)作斜率为
的直线
，使得
和G交于A、B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足

（1）求双曲线G的渐近线方程； （2）求双曲线G的方程；

（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴，如果S中垂直于
的平行弦的中点轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程。

21. （本小题满分12分）已知函数
，其中为实数．

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）是否存在实数，使得对任意
，
恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．

请考生在第22—24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22.　（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线
经过⊙
上的点
，并且
⊙
交直线
于，，连接
．

（1）求证：直线
是⊙
的切线；

（2）若
⊙
的半径为
，求
的长．

23.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程

已知直线
的参数方程为
（为参数），曲线
的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点
，直线
与曲线
交于
两点．

(1) 写出直线
的极坐标方程与曲线
的普通方程；

(2) 线段
长度分别记为
，求
的值．

2014-2015 十二月考试 参考答案

一．选择题： CADC AADC BCDB

二．填空题：

13．25 14. ②③ 15.
16.

三．解答题：

17.解：（1）
即
，其中R是三角形ABC外接圆半径，

为等腰三角形 …………5分

（2）由题意可知

由余弦定理可知，

…………12分

18.

有
的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

考点：1.频率分布直方图的应用；2.列联表的画法及
的求解.

19. （本题满分12分）

解: (1)如图,连接
,
为矩形且是
的中点,

必过…………………………………………1分

又是
中点,所以
……………………2分

在面
外,
在面
内,

面
……………………………………4分

(2)平面
平面
,
,

面
面

又
面
,
面
……………6分

又
在面
内,面
面
………8分

(3)取
中点
,连接
,因为平面
平面
及
为等腰

直角三角形,所以
面
,

即
为四棱锥
的高 …………………10分

………12分

20. 解：(1)设双曲线G的渐近线方程为y=kx，

则由渐近线与圆
相切可得
，

所以
，故渐近线方程为
…………3分

(2)由（1）可设双曲线G的方程为
，

把直线l的方程代入双曲线并整理得
则
（1）

,P、A、B、C共线且在线段AB上

即
整理得

将（1）式带入得m=8故双曲线G的方程为
…………7分

(3)由提议可设椭圆方程为

设弦的端点分别为
，
，MN的中点为
，

则
，
作差得

故垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线
截在内的部分。

又由题意，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分

即

…………12分

21.解：（1）
时，
，

，
，………………………2分

又

所以切线方程为
………………………4分

（2）1°当
时，
，则

令
，
，

再令
，

当
时
，∴
在
上递减，

∴当
时，
，

∴
，所以
在
上递增，
，

所以
……………………8分

2°
时，
，则

由1°知当
时
，
在
上递增

当
时，
，

所以
在
上递增，∴

∴
；

由1°及2°得：
………………………12分

23 .解（1）直线的极坐标方程
， ……3分

曲线普通方程
……5分

（2）将
代入
得
，……8分

……10分