福建省龙海一中2015届高三上学期第二次月考数学（文）

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

参考公式：方差s2=
[(x1-
)2+ (x2-
)2+…+(xn-
)2]

一、选择题：（本大题12小题，每小题5分， 共60分）

１．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

２．四名同学根据各自的样本数据研究变量
之间的相关关系,并求得回归直线方程,分

别得到以下四个结论:

① y与x负相关且
; ② y与x负相关且
;

③ y与x正相关且
; ④ y与x正相关且
.

其中一定不正确的结论的序号是

A.①② B.②③ C.③④ D. ①④

３．将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以表示:

则7个剩余分数的方差为（　　）

A．
B．
C．36 D．

4．在等比数列
中，
，前项和为
，若数列
也是等比数列，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5.设、是两条不同的直线，、
是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )

（A）若∥，∥，则∥

（B）若⊥
，∥，则⊥

（C）若⊥
，⊥
，则∥

（D）若⊥，⊥，⊥
，则⊥

6．如果直线、与平面、
、满足
，
，
，
，则必有( )

A．
且
B．
且
C．
且
D．
且

7．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线对称轴1m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是（ ）

A.2.5m B.4m C.5m D.6m

8．已知圆
，设平面区域
，若圆心
,且圆
与轴相切，则
的最大值为 （ ）

A.5 B.29 C .37 D.49

9．若点O和点
分别是双曲线
的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则
的取值范围为 ( )

A．
B．
C．
D．

10．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．8 B．
C．
D．

11．在约束条件
下，当
时，目标函数
的最大值的变化范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知椭圆

上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）

A、
B、
C、
D、

二、填空题：（本大题共4小题,每小题4分，共16分）

13．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为________.

14.等比数列{an}的前n项和为Sn，若
，则公比q=______

15. 如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，……，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为 .

16.双曲线
的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点
在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是 ．

三．解答题：（本大题6小题， 共74分）

17．(本小题满分12分)

等比数列
的各项均为正数，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
．

18．（本小题满分12分）

如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。

（Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。

19．（本小题满分12分）设
为数列{
}的前项和,已知
,2
,
N

(Ⅰ)求
,
,并求数列{
}的通项公式;

(Ⅱ)求数列{
}的前项和.

20．（本小题满分12分）如图，矩形
中，
，
．，分别在线段
和
上，
∥
，将矩形
沿
折起．记折起后的矩形为
，且平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）求四面体
体积的最大值．

21．(本小题满分12分)

如图，点
为坐标原点，直线
经过抛物线
的焦点.

（Ⅰ）若点
到直线
的距离为
，求直线
的方程；

（Ⅱ）设点A是直线
与抛物线
在第一象限的交点．点B是以点为圆心,
为半径的圆与轴负半轴的交点．试判断直线
与抛物线
的位置关系，并给出证明．

22. （本小题12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率为
，坐标原点
到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为
。

（1）求椭圆的方程；

（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线
交椭圆于P、Q两点，在线段
上是否存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。

龙海一中2014—2015学年12月月考高三数学(文)参考答案

一、选择题：（本大题12小题，每小题5分， 共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

B

A

D

B

C

C

B

C

D

A



二、填空题（本大题4小题，每小题4分， 共16分）

13、78 14、2或—2 15、3 16、

三．解答题：（本大题6小题， 共74分）

17．解：（Ⅰ）设数列
的公比为
，则

………………………………2分

解得
（负值舍去）. ………………………………4分

所以
．………………………………6分

（Ⅱ）因为
，
，

所以
，………………………………8分

，

因此数列
是首项为2，公差为
的等差数列，………………………………10分

所以
．………………………………12分

18．解：（I）由
，（*）

因为直线
与抛物线C相切，所以
解得b=-1。………5分

（II）由（I）可知
，

解得x=2，代入
故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1距离，即

所以圆A的方程为
………12分

19.解: (Ⅰ)

………1分

………4分

……… 5分

(Ⅱ)

……… 8分

上式左右错位相减:

…10分

. ……12分

20. （Ⅰ）证明：因为四边形
，
都是矩形， 所以
∥
∥
，
．

所以 四边形
是平行四边形，……………2分

所以
∥
， ………………3分

因为
平面
，所以
∥平面
．4分

（Ⅱ）证明：连接
，设
．

因为平面
平面
，且
， 所以
平面
…5分

所以
．

又
， 所以四边形
为正方形，所以
．

所以
平面
， 所以
． …………8分

（Ⅲ）解：设
，则
，其中
．由（Ⅰ）得
平面
，

所以四面体
的体积为
．

所以
．

当且仅当
，即
时，四面体
的体积最大． …………12分

21．本解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点
，………………………………………1分

当直线
的斜率不存在时，即
不符合题意. ……………………………2分

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为：
，即
……3分

所以，
，解得：
…………5分

故直线
的方程为：
，即
.…………6分

（Ⅱ）直线
与抛物线相切，证明如下：…………7分

（法一）：设
，则
.…………8分

因为
所以
.…………9分

所以直线
的方程为：
，整理得:

把方程（1）代入
得：
，…………10分

，

所以直线
与抛物线相切．…………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）直线
与抛物线相切，证明如下：…………7分

设
，则
.…………8分

设圆的方程为：
，…………9分

当
时，得
，

因为点B在轴负半轴，所以
.…………9分

所以直线
的方程为
，整理得:

把方程（1）代入
得：
，…………10分

，

所以直线
与抛物线相切．…………12分

22.解:(I）由已知，椭圆方程可设为

设
，直线
，由坐标原点
到
的距离为

则
，解得
.……………　2分

又
=
，故=
，
=1∴所求椭圆方程为
．……………　4分

（II）假设存在点
满足条件,使得以
为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，

所以设直线
的方程为
，

由
可得
．……………　6分

由
恒成立，∴
．

设线段PQ的中点为
，

则
……………　9分

∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，

∴MN⊥PQ ∴
……………　11分

即
，

……………　14分