贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷（二）

文科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

1．
，
，故选D.

2．由图可知：
，
，则
，
，故选C.

3．由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项
单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值，故选D.

4．由函数
和
的图象知，条件B：“
”
条件A：“
”，而条件A：“
”
条件B：“
”，因此条件A：“
”是条件B：“
”成立的必要不充分条件，故选B.

5．如图1，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在，故选C．

6．由
，得
，可知，
. 又向量夹角
，故选D.

7．对于选项可以逐个验证，当判断框中填写i≥10？时，输出结果为S＝1320；

当判断框中填写
时，输出结果为S＝132；

当判断框中填写
时，输出结果为S＝1；

当判断框中填写
时，输出结果为S＝12，故选B．

8．作出函数
的图象，设
，则由图象可得：
，得
，故选B.

10．

，图象向右平移个单位后得：

，由于函数
图象关于原点对称，

所以，令
，得
，
．当
时，得的最小正值是
，故选A.

11．方法一：由
∥
得
，
，由题设
知
，所以
，即
，又
得
故选A．

方法二：

，故
，故选A．

12．
，
的最小值即是
的最小值，也即是求两图象上任意两点M，N间距离的最小值．

函数
的定义域为
，
，

则
，

函数在
上单调递增，在
上单调递减，

又
，而函数
的值域为
，故直线与曲线相离．

设直线
，直线l2：与l1平行且为曲线
的切线，

即是直线l1与l2两条平行线间的距离．

设切点
，则
，得
，故切点为
，切线方程
，

则两条平行直线l1与l2间的距离为
，则
的最小值
，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

【解析】

13．设鱼塘中大鱼数量的估计值为
，有
，从而估算出
=800（条）．

14．作出不等式组的可行域，如图3阴影部分所示，

作直线
，并向左上，右下平移，

当直线过点A时，
取最大值；

当直线过点B时，
取最小值．

由
得B(1，2)，由
得A(3，0)．

，
，
．

15．由
及正弦定理得
，即
．又
，故
．

由余弦定理得
．

16．

，

故
．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，有
…………………………（2分）

，
，…………………………………………………（4分）

解得
，所以
．………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，有
，………………………………（8分）

从而
………………………………………………（9分）

……………………………………………………………………（11分）

．……………………………………………………………………（12分）

18. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，

设抽取学历为本科的人数为m，则
＝
，解得m＝3．…………………………（2分）

抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，

分别记作S1、S2；B1、B2、B3．

从中任取2人的所有基本事件共10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)．…………………………………（4分）

其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．……………………………………………………（5分）

从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为
．…………………（6分）

（Ⅱ）由K2＝
算得，

K2＝
，…………………………………………………（8分）

又5.455
，………………………………………………………………………（10分）

则有95%的可能性认为“爱好这项运动与学历有关”．

故在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为爱好该项运动与学历有关系．………（12分）

19. （本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：因为几何体是正方体
截去三棱锥
后所得，

．………………………（6分）

（Ⅱ）解：由题意知
，点
到
的距离为
，…………………………（7分）

则△
的面积为
，………………………………………（9分）

由（Ⅰ）知
平面
，

所以
……………………（11分）

．…………………………………………………（12分）

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，……………………………………………………………（2分）

由曲线
在点
处的切线的斜率为0，得
，……………………（3分）

即
，
．……………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）由
，得

，

令
，

．………………………（6分）

令
，得
，
.

②当
时，
，

x























极小值






不合题意，无解．…………（10分）

③当
时，
，符合题意．……………………………………（11分）

综上，的取值范围是
．…………………………………（12分）

21.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为
+
＝1(a＞b＞0)，

由题意得
，…………………………………………………（2分）

解得a2＝4，b2＝3．………………………………………………………………………（3分）

故椭圆C的方程为
＋
＝1．………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）假设存在直线，且由题意得斜率存在，则过P点的直线方程：y＝k(x－2)＋1，

………………………………………………………………………………………（5分）

代入椭圆C的方程得，
．

因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

所以

，所以
．………………………………………………………（6分）

x1＋x2＝
，
．…………………………………………（8分）

又因为
，

即
，

所以
．

即
．……………………………………………………（9分）

所以
，

解得k＝±
．……………………………………………………………………………（10分）

因为
，故
．………………………………………………………………（11分）

所以存在直线
满足题意．…………………………………………………（12分）

22. （本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】

（Ⅰ）证明： AC∥DE，∠CDE=∠ACD.

又DE切圆O于点D，∠CDE=∠CBD，

∠CBD=∠ACD，而∠ACD=∠ABD，

∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC.…………………………………………………（5分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ABD=∠CBD，又∠CBD=∠CAD，

∠ABD=∠CAD，又∠ADH为公共角，

△ABD∽△HAD，
.

AB=4, AD=6, BD=8， AH =3．……………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）由点M的极坐标为
，得点M的直角坐标为（4，4），………（2分）

所以直线OM的直角坐标方程为
．………………………………………………（5分）

（Ⅱ）将曲线C的参数方程
（为参数），化成普通方程为：
，

圆心为
，半径为
．………………………………………………………（8分）

由于点M在曲线C外，

故点M到曲线C上的点的距离的最大值为
．………………………（10分）