考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2014.12.15

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷满分150分．考试时间120分钟．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差

s=
其中为样本平均数

锥体体积公式 V=
Sh 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式V=Sh 其中S为底面面积，h为高

球的表面积、体积公式
，
其 中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1．已知
，
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2．双曲线
的渐近线方程为
，则此双曲线的离心率为（ ）

A． B．
C．
D．

3．已知命题：
≤0，则( )

A.是假命题；
：
≤0

B.是假命题；
：
＞0

C.是真命题；
：
≤0

D.是真命题；
：
＞0

4．设
，下面四个不等式中，正确的是（ ）

①
；②
；③
；④

A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④

5. 已知为常数，则使得
成立的一个充分而不必要条件是 (　 )

A．
B．
C．
D．

6．已知点
、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且
，则 ( )

A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上

C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上

7. 已知
是圆
：
内一点，现有以
为中点的弦所在直线和直线
：
，则（ ）

A．
，且
与圆相交 B．
，且
与圆相交

C．
，且
与圆相离 D．
，且
与圆相离

8．若平面区域
的面积为3，则实数的值为 ( )

A.
B．
C．
D．

9. 已知函数
当
时，
若在区间
内，函数
，有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知抛物线
，圆
，直线
，其中
，直线
与
的四个交点按横坐标从小到大依次为
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11. 已知两条直线
，
互相垂直，则=_________.

12. 已知
则
_________.

13. 等差数列
的前n项和为
,
,
,当
取最小值时, 等__________.

14.若函数
且
，
且
的图象关于轴对称，则
的最小值为__________.

15．设
是已知平面
上所有向量的集合，对于映射
，记的象为
。若映射
满足：对所有
及任意实数
都有
，则
称为平面
上的线性变换。现有下列命题：

①设
是平面
上的线性变换，
，则对任意实数
均有
;

②对
，则
是平面
上的线性变换；

③设
是平面
上的线性变换，
，若
共线，则
也共线；

④若是平面
上的单位向量，对
，则
是平面
上的线性变换。

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分13分）

在数列
中，
，

（Ⅰ）求证数列
为等差数列，并求它的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的前项和为
，是否存在正整数，使得
成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

17. (本小题满分13分)

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间及对称轴方程；

（Ⅱ）当
时，
的最大值为
，求实数的值．

18. (本小题满分13分)

已知
，集合
，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
满足：
，
，求
的通项公式。

19．(本小题满分13分)

某港湾的平面示意图如图所示，
，，分别是海岸线
上的三个集镇，位于
的正南方向
处，位于
的北偏东
方向
处．

（Ⅰ）求集镇，间的距离；

（Ⅱ）随着经济的发展，为缓解集镇
的交通压力，拟在海岸线
上分别修建码头
，开辟水上航线．勘测时发现：以
为圆心，
为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头
的位置，使得
之间的直线航线最短．

20.（本小题满分14分）

如图，正方形
内接于椭圆
，且它的四条边与坐标轴平行，正方形
的顶点
、
在椭圆上，顶点、
在正方形的边
上．且
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点
，平行于
的直线
在轴上的截距为
，
交椭圆于、两个不同点，求证：直线
，
与轴始终围成一个等腰三角形．

21. （本小题满分14分）

巳知函数
，
，其中
.

（Ⅰ）若
是函数
的极值点，求的值；

（Ⅱ）若
在区间
上单调递增，求的取值范围；

（Ⅲ）记
，求证：
.

福州八中2014—2015学年高三毕业班第四次质量检查

数学(理)试卷参考答案及评分标准

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

AABCC BCBAD

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．

11. 12 12.
13. 6 14. 8 15．①②③

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 解：（Ⅰ）

………………………3分

………………………5分

由
，………………………6分

得
．

∴函数
的单调增区间为
．………………………7分

由
得
，

∴函数
的对称轴方程是
.………………………8分

（Ⅱ）∵当
时，
，………………………9分

∴
，………………………11分

∴
，……………………12分

∴
，解得
．

∴实数的值为5.…………………………………………13分

（由
得出
的最大值为1，得2分；正确推出
的最大值为
，再得1分；正确求出m的值得1分）

18.解：（Ⅰ）由
，得
，即
，其中
，
，………………3分

又
，
，依题意，可得数列
是首项为1，公差为3的等差数列，………………5分

数列
的通项公式为
，
………………6分

（Ⅱ）当
时，

………………7分

=
=
………………9分

=
…………11分

当
时，上式也成立，………………12分

=
（
）………………13分

19． 解法一：（Ⅰ）在△
中，
，
，
，…1分

根据余弦定理得，

，…………………4分

所以
．

故，两集镇间的距离为14km．………………6分

（Ⅱ）依题意得，直线
必与圆
相切．设切点为
，连接
，则
．………………7分

设
，
，
，

在△
中，由
，

得
，即
， …………………………… …9分

由余弦定理得，
， …………11分

所以
，解得
， …………………12分

当且仅当
时，取得最小值
．

所以码头
与集镇
的距离均为
km时，
之间的直线航线最短，最短距离为
km．…13分

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）依题意得，直线
必与圆
相切．设切点为
，连接
，则
．

设
，则
，
，……………………………7分

在
中，
，所以
， ………………8分

在
中，
，所以
，……………9分

所以

． ……………………11分

因为
，所以

，因此当
，即
时，
有最大值
，故
有最小值
，此时
．

所以码头
与集镇
的距离均为
km时，
之间的直线航线最短，最短距离为
km． …13分

20.解：（Ⅰ）∵CD＝，∴点E(，)，…………………1分

又∵PQ＝，∴点G(，)，………………………2分

则解得 ………………………4分

∴椭圆方程＋＝1. ………………………5分

（Ⅱ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝，k2＝，直线l方程为y＝x＋m，代入椭圆方程＋＝1消去y，

得x2＋2mx＋2m2－4＝0

可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4. ………………………9分

而k1＋k2＝＋＝

＝

＝

＝

＝＝0，………………………13分

∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. …………14分

（Ⅲ） 解法1：

，…………………9分

令
，

则

……………………11分

令
，则
，

显然
在
上单调递减，在
上单调递增，

则
，则
， …………………………13分

故
． …………………………14分

解法2：

…………………………9分

则
表示
上一点
与直线
上一点
距离的平方．

由
得
，让
，解得
，

∴直线
与
的图象相切于点
，……………………12分

（另解：令
，则
，

可得
在
上单调递减，在
上单调递增，

故
，则
，

直线
与
的图象相切于点
），

点（1，0）到直线
的距离为
，

则
．…………………………14分