考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2014.12.15

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合

A.
B.
C.
D.

2. 在复平面内，复数
表示的点所在的象限是

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．直线
平行，则a的值为

A．
B．
C．0 D．—2或0

4. 已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝

A． B．2 C．3 D．4

5. 已知平面
，直线
，下列命题中不正确的是

A. 若
，
，则∥
　

B. 若∥，
，则

C. 若∥，
，则∥

D. 若
，
，则

6. 函数
的一个单调递减区间为

A．
B．
C．
D．

7．圆
所得的弦长等于

A．
B．
C．1 D．5

8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元）

4

2

3

5



销售额y（万元）

49

26

39

54



 根据上表可得回归方程
中的
为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

A．63．6万元 B．67．7万元 C．65．5万元 D．72．0万元

9.已知双曲线C ：
－
=1的焦距为10 ，点P（2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为

A．
－
=1 B.
－
=1 C.
－
=1 D.
－
=1

10. 已知数列
的前项和为
，
，
，,则

A.
B.
C.
D.

11．已知椭圆C： ＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝

A．4 B．8 C．12 D．16

12．已知集合M是满足下列性质的函数
的集合：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式
＝
＋
恒成立．现有两个函数：
，
，则函数
、
与集合M的关系为

A.
B．

C.
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题纸上。

13.已知在
中，
且三边长构成公差为2的等差数列， 则
所对的边=

14. 圆心在轴上，且与直线
切于
点的圆的方程为__ ____

15. 在直角坐标系
中，设集合
，在区域内任取一点
，则满足
的概率等于

16．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.

(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；

(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.

18. （本小题满分12分）

已知函数
，直线
与f(x)的曲线交点之间的最短距离为π.

(1)求f(x)的解析式及其图像的对称中心；

(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A是锐角，且
，求△ABC的面积.

19．（本小题满分12分）

已知正项数列
满足：
，

（1）求通项
；

（2）若数列
满足
，求数列
的前和.

20.（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
是正三角形，四边形
是矩形，且平面
平面
，
，
．

（Ⅰ）若点是
的中点，求证：
平面
；

（Ⅱ）若点在线段
上，且
，当三棱锥
的体积为
时，求实数
的值.

21.（本小题满分12分）

已知a为实数，x=1是函数
的一个极值点。

(Ⅰ)若函数
在区间
上单调递减，求实数m的取值范围；

(Ⅱ)设函数
，对于任意
和
，有不等式
恒成立，求实数的取值范围.

22. （本小题满分14分）

如图，椭圆

的左焦点为，过点的直线交椭圆于
两点.
的最大值是
，
的最小值是，满足
.

(1) 求该椭圆的离心率；

(2) 设线段
的中点为
，
的垂直平分线与轴和轴分别交于
两点，
是坐标原点. 记
的面积为
，
的

面积为
，求
的取值范围.

福州八中2014—2015学年高三毕业班第四次质量检查

数学(文)试卷参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，满分60分）

1. D 2. B 3． A 4. C 5. C 6. B

7. A 8． C 9. A 10. A 11． B 12． B

二、填空题（每小题4分，满分16分）

13. 7 14.
15.
16．

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解：(1) 设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”,

则
………6分

(2) 设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为
，

从中选出两人的所有基本事件如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15个，………9分

其中使得事件成立的为
，
，
，
，共4个， 则
. ………12分

18. 解：(1)
，………3分

由题意知函数的最小正周期为π，所以
，

所以
， ………4分

令
，所以函数的对称中心为
；……6分

(2) 因为
,所以
，

又
，所以A=
，………9分

又
，由余弦定理得
，得
，

所以
.………12分

20.解：（Ⅰ）如图，连接
，设
，又点是
的中点，

则在
中，中位线
//
，………3分

又
平面
，
平面
。

所以
平面
………5分

（Ⅱ）依据题意可得：
，取
中点
，所以
，且

又平面
平面
，则
平面
； ………6分

作
于
上一点
，则
平面
，

因为四边形
是矩形，所以
平面
，则
为直角三角形，……8分

所以
，则直角三角形
的面积为

………10分

由
得：
…………12分

22.解：(1) 设
，则根据椭圆性质得

而
，所以有
，

即
，
，因此椭圆的离心率为
. ………5分

(2) 由(1)可知
，
，椭圆的方程为
. ………6分

根据条件直线
的斜率一定存在且不为零，设直线
的方程为
，

并设
则由
消去并整理得

………8分

从而有
，………10分

.

因为
，所以
，
. ………12分

由
与
相似，所以

. ………14分