“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考2014-2015学年上学期第二次月考高三数学（理科）试题

（考试时间： 120分钟 总分：150分）

命题人：永安一中 易银娟 审题人：永安一中 吴强

友情提示：要把所有答案写在答题卷上才有效！

一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知全集U=R，集合A＝{1,2,3,4,5｝,B＝[3，十），则图中阴影部分所表示的集合为

A. {0，1，2}　 B. {0，1}，

C. {1，2}　 　　D.｛1｝

2．若
，则下列不等式成立的是

A.
B.
C.
D.

3．设平面向量
,若
⊥
，则

A．
B．
C．
D．5

4．已知函数
那么
的值为

A.
B.
C.
D.

5．下列结论正确的是

A.若向量
∥
，则存在唯一的实数
使

B.已知向量
，
为非零向量，则“
，
的夹角为钝角”的充要条件是“
”

C．若命题
，则

D．“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

6．函数
则该函数为

A.单调递增函数，奇函数 B.单调递增函数，偶函数

C.单调递减函数，奇函数 D.单调递减函数，偶函数

7．函数
（其中A＞0，
）的图象如图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象

A.向右平移
个长度单位 B.向右平移
个长度单位

C.向左平移
个长度单位 D.向左平移
个长度单位

8．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且
，若
，则

A．
B．
C．1 D．

9．已知函数
，如果在区间
上存在
个不同的数
使得比值
成立，则的取值构成的集合是（ ） A．
B．
C．
D．

10．设函数
、
的定义域分别为
，且
，若对于任意
，都有
，则称
函数为
在
上的一个延拓函数.设
，
为
在上的一个延拓函数，且
是奇函数.给出以下命题：

①当
时，
； ②函数
有3个零点；

③
的解集为
； ④
，都有
。

其中正确命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)

11．若
，则实数
.

12． 已知函数
，则在点
处的切线方程为 .

13．设O为坐标原点，点
，若
满足不等式组
，则
的最小值是 .

14． 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为海里和
海里，灯塔A在观察站C的北偏东200，灯塔B在观察站C的南偏东400，则灯塔A和B的距离为 海里.

15．已知函数
，则满足
的实数的取值范围为 .

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本题满分13分)

已知
，
，

（I）若
∥
，求
的值；

（II）在（I）的条件下，若
，
，求
的值.

17．(本题满分13分)

设函数
,
．

(Ⅰ) 若
,求
的最大值及相应的的取值集合；

（Ⅱ）若
是
的一个零点,且
,求的值和
的最小正周期.

18. （本小题满分13分）

在
中，角，，
所对的边分别为，
，，且
．

（Ⅰ）若
，求
的面积；

（Ⅱ）若
，求
周长的最大值.

19. （本小题满分13分）

市场对电子产品的更新比较快一款产品仅能持续5个月，某公司推出一种电子产品上市，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①
②
③
（以上三式中,均为常数，且
）．

（I）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）；

（II）若
，求出所选函数
的解析式（注：函数定义域是
．其中
表示8月1日，
表示9月1日，…，以此类推）；

（III）在（II）的条件下研究：为保证公司的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该产品将在哪几个月份内价格下跌．

20. （本小题满分14分）

设函数
，

(I) 若
是函数
的极值点，1是函数
的一个零点，求函数
的解析式；

(II) 若对任意
, 都存在
(为自然对数的底数)，使得
成立，求实数的取值范围。

21.（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

（I）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

曲线
在二阶矩阵
的作用下变换为曲线
；

（i）求实数
的值；

（ii）求M的逆矩阵
.

（II）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系
内，点
在曲线
（
为参数）上运动.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.

（i）写出曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程；

（ii）若直线
与曲线
相交于
两点，点
在曲线
上移动，求
面积的最大值.

（III）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

设实数
满足
．

（i）若
，求的取值范围；

（ii）若
，且
，求的最大值．

六校联考2014-2015学年上学期第二次月考

高三数学（理科）试题参考答案

17．【解析】(Ⅰ)
…………………2分

当
时,
，

而
,所以
的最大值为
, …………………………4分

此时
,
,即
,
,

相应的的集合为
. …………………………6分

（Ⅱ）依题意
,

即
,
,…………………………8分

整理,得
, …………………………9分

又
,所以
,
, …………………………10分

而
,所以
,
, …………………………12分

所以
,
的最小正周期为.……13分

18. 解：（Ⅰ）因为
，
，

所以
. …………………2分

所以
. …………………4分

因为
，

所以
. ………………………6分

（Ⅱ）因为

所以
. ………………………8分

因为


.

， ………………………11分

所以
.当且仅当
时等号成立. ………………………12分

所以
周长的最大值为1＋
…………………13分

19. 解：（1）∵上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，

∴在所给出的函数中应选模拟函数
……………………4分

（2）∵
，即得
，又

∴
，
， ……………………8分

故

……………………9分

（3）∵

∴
， ……………………10分

令
，
，又
，

∴函数
在
和
内单调递增，在
内单调递减，………………12分

∴可以预测种产品将在9月，10月两个月内价格下跌。 ……………13分

20. 解：（Ⅰ）
， ………………………………………1分

∵
是函数
的极值点，∴
.

∵1是函数
的零点，得
，……………………………………3分

由
解得
.
…………6分

（Ⅱ）令
，
，则
为关于
的一次函数且为增函数，

根据题意，对任意
，都存在
，使得
成立，

则
在
有解，

令
，只需存在
使得
即可，

由于
=
，

令
，
，

∴
在(1，e)上单调递增，
，……………………………………9分

①当
，即
时，
，即
，
在(1，e)上单调递增，

∴
，不符合题意.

②当
，即
时，
，

若
，则
，所以在(1，e)上
恒成立，即
恒成立，

∴
在(1，e)上单调递减,

∴存在
，使得
，符合题意.

若
，则
，∴在(1，e)上一定存在实数m，使得
，

∴在(1，m)上
恒成立，即
恒成立，
在(1，m)上单调递减,

∴存在
，使得
，符合题意.

综上所述，当
时，对任意
，都存在
，使得
成立.

…………………………………………………14分

（Ⅱ）方法二

，
，

设
，

因为
，所以
在
上单调递增，且
，

（1）当
，即
时，因为
，所以
.

此时
，所以
在
上恒成立；即
在
上单调递增.

若存在
，使得
成立，则
，即
恒成立.

因为
，则
时不成立，所以
不成立. ………………………9分

（2）因为
，所以
，

当
，即
时，因为
，所以
.此时，

（i）当
时，
在
上恒成立，则
在
上单调递减.

因为
，所以存在
，使得
成立.

（ii）当
时，则存在
，使得
，因为
在
上单调递增，

所以当
时，
，则
在
上单调递减；

因为
，故在
内存在
，使得
成立.

综上：满足条件的a的取值范围为
.…………………………………………14分

21.（I）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

（1）

代入新曲线
，得
，即

解得
……………………4分

（2）由
及逆矩阵公式得
……………………7分

（II）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为：

直线
的直角坐标方程：
. ………………………………3分

（Ⅱ）圆心（1，0）到直线
的距离
，

则圆上的点到直线的最大距离为
=

，

所以
面积的最大值为
. ……7分

（III）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

解：（Ⅰ）由
得
，即
．

所以
可化为
，即
，解得
．

所以的取值范围
．……………………………………4分

（Ⅱ）因为
，

所以
，…………………6分

当且仅当
时，等号成立．

故的最大值为27．……………………………………7分