“四地六校联考”2014-2015学年上学期第二次月考高三数学（文）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：永安一中 吴秉术 审题人：永安一中 宋建华

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的否命题是（ ）

A．若两条直线有公共点，则这两条直线不是异面直线

B．若两条直线没有公共点，则这两条直线不是异面直线

C．若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点

D．若两条直线不是异面直线，则这两条直线有公共点

3．若直线
与圆
交于P，Q两点，则
＝（ ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

4. 设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．2 B.3 C．5 D. 6

5. 若
，
，
，则，
， 的大小关系为( )

A. <
< B. <
< C. <<
D.
<<

6. 若
，则函数
与函数
的图象在同一坐标系中可能是（ ）

A． B． C． D．

7.数列
的前项和为
，则“
”是“数列
为等差

数列”的（ ）

A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件

C. 必要而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.设、是两条不同的直线，、
是两个不同的平面，则（ ）

A. 若
，
，
，则
B. 若
，
，则

C. 若
，
，
，则
D. 若
，
，则

9.某几何体的三视图如图1所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）

A.
　 B.
　 C．
+
　 D.
+2

10.若函数
的导函数为
，则数列

的前项和是（ ）

A．
　 B.
　　 C．
　　D.

11.设
，
，
为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足
与
不共线，

，
=
，则
的值一定等于（ ）

A．以
，
为两边的三角形面积 B. 以
，
为邻边的平行四边形的面积

C．以
，
为两边的三角形面积 D. 以
，
为邻边的平行四边形的面积

12.若函数
在定义域上可导，且其导函数
在上也可导，则称
在上存在二阶导函数，记作
，即
，当
在上恒成立时，称
在上是凸函数.下列函数在
上不是凸函数的是（ ）

A．
B.

C．
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置

13．幂函数
的图象过点（2，
），则实数的值为 .

14．若
为双曲线

的渐近线方程，则＝ .

15. 数列
的通项公式
，其前项和为
，则
= .

16.已知向量
、
不共线，且
，若
，则点
的轨迹方程为 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

在等比数列
中，
，公比
．

（Ｉ）设
为
的前项和，证明：
；

（Ⅱ）在
中，角，，
所对的边分别是3，
，
，求
的面积．

18.（本小题满分12分）

已知函数
，
，
．

（Ⅰ）求
的对称轴；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围.

19.（本小题满分12分）

已知函数
，其中
，且曲线
在点
处的切线垂直于直线
．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间和极值．

20.（本小题满分12分）

如图2，在三棱柱
中，
平面
，

，
，
，、分别为
、

的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

21.（本小题满分12分）

等差数列
的前项和
，数列
满足
．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：

①
； ②
；

③
；④
；

⑤
；⑥
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数的值；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

22.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，椭圆：
的离心率为
，上顶点
在直线
上.

（Ｉ）求椭圆的方程；

（II）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点）. 点
在椭圆上，且
，直线
与轴、轴分别交于，
两点.

（i）设直线
，
的斜率分别为
，
，问是否存在实数，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（ii）求
面积的最大值．

“四地六校联考”2014-2015学年上学期第二次月考

高三数学（文）参考答案

18.解：（Ⅰ）∵
＝
…………2分

…………4分

∴

…………6分

由
得

∴
的对称轴为
………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）

∵
∴
∴
…………11分

∴
.…………12分

19.解：（Ⅰ）
……2分

∵曲线
在点
处的切线垂直于直线

　∴
，∴
……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，则

令
，解得
，　　又
的定义域为
…………6分

当
时，
　∴
在
内为增函数…………8分

当
时，
　∴
在
内为减函数…………10分

由此知函数
在
处取得极大值
…………12分

20.解：（Ⅰ）法一：取
中点，连结
，
…………1分

∵，分别是
，
的中点

∴
，且

∵
，且

∴
，且

∴四边形
为平行四边形…………4分

∴

又∵
平面
，
平面

∴
平面
…………6分

法二：取
中点，连结
，
…………1分

则
且
∴四边形
为平行四边形∴

又∵
平面
，
平面
∴
平面
…………3分

∵、分别为
、
的中点∴

又∵
平面
，
平面
∴
平面
…………4分

又∵

，
平面
，
平面

∴平面
平面
…………5分

又∵
平面
∴
平面
…………6分

（Ⅱ）∵
，
，

∴
…8分

∴三棱锥
的体积为
…10分

…12分

21. 解：（Ⅰ）当＝1时，