第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知全集
，集合
,
，下图中阴影部分所表示的集合为

A．
B．
C．
D．

2.在复平面上，复数
对应点所在的象限是

A．第一象限 B．第二象限 C
．第三象限 D．第四象限

3.函数
的零点所在的区间是

A．
B．
C．
D．

4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积等于

A．

cm2 B．
cm2 C．
cm2 D．
cm2

5.“
”是“直线
与直线
相互平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6.设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是

A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

7.设
，若
是
与
的等比中项，则
的最小值为

A．

B．1 C．4 D．8

8.已知函数
的大致图象如右图，其中
为常数，则函数

的大致图象是

9.已知向量a, b均为单位向量，
若它们的夹角是60°，则
等于

A．3 B．2 C．
D．

10.已知
，则
的值是

A．
B．
C．
D．

11.设曲线
在点
处的切线与
轴的交点的横坐标为
，则

的值为

A．
B．
C．
D．1

12.定义运算：
，将函数
的图象向左平
移
（
）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则
的最小值为

A．
B．
C．

D．

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．

13.若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a6＝ ．

14.已知实数
满足
，则
的最小值是 ．

15.已知△
的三个内角
所对的边分别为
，若△
的面积为

,则
．

16.在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M：

①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°=M；

②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°=M；

③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°=M；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°=M；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°=M；

请计算出M值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式.

.

三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程
和演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知三棱柱
中，
平面
，
，
是
的中点

（Ⅰ）求证：
平面

（Ⅱ）求证：平面
平面

18.（本小题满分12分）

已知直线
与直线
垂直，且过点

（Ⅰ）求直线
的方程；

（Ⅱ）若圆
过点
，且圆心在
轴的正半轴上，直线
被该圆所截得的弦长为
，

求圆
的标准方程.

19.（本小题满分12分）

已知
，且

（Ⅰ）求
的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）在△
中，
分别是
的对边，若
成立，求
的取值范围.

20.（本小题满分12分）

等差数列
的各项均为正数，
，前
项和为
，
为等比数列，
，且

．

(Ⅰ)
求
与
；

(Ⅱ)证明：
．

21．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
平面
，底面
为正方形，
，、
为
的中点，

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求三棱锥
的体积；

（Ⅲ）
边上是否存在一点
，使得
平面
.若存在，求
的长；若不存在，说明理由.

22.（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）若
在点(
)处的切线方程为
，求实数
的值;

（
Ⅱ）当
时，讨论
的单调性;

（Ⅲ）当
时，
在区间
上恰有一个零点，求实数
的取值范围.

南安一中2014～2015学年度高三（上）期中考

文科数学试卷答案及评分标准

一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．

二、填空题：本大题每小题4分，满分16分．

13.11 14.9 15.
16. sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝

三、解答题：本大题满分74分．

17.证明：

（Ⅰ）设
、
相交于点
，连结

∵
∴
为菱形

∴
为
的中点

∵
是
的中点

∴

又∵
平面

平面

∴
平面
……………………………6分

（Ⅱ）∵
为菱形

∴

又∵
平面

平面

∴

又∵

平面

∴
平面

又∵
平面

∴平面
平面
……………………………12分

18.解：（Ⅰ）∵
与
垂直 ∴

∵
过点
∴
的方
程
即
……………………………4分

（Ⅱ）设圆的标准方程为

解得：
…………………………8分

∴圆的标准方程为
…………………………12分

19.解：（Ⅰ）

……………………………3分

……………………………4分 单调递增区间为：

解得：

∴单调递增区间为：

20.解：(Ⅰ)设
的公差为
，
的公比为
，则
，
，
．

依题意有
．解得
或
(舍去)． ……………4分

∴

……………………………6分

(Ⅱ)∵
，

∴

． ……………………………10分

∵
∴

∴

……………………………12分

21.(Ⅰ)证明：
平面
，

又∵
是正方形 ∴

∵

∴
平面
……………………………3分

又∵
面

∴
……………………………4分

(Ⅱ)解：∵
平面
，

∴
是三棱锥
的高 ……………………………5分

∵
是
的中点

……………………………6分

……………………………8分

(Ⅲ)连结
，取
中点
，连结
，延长
交
于点
，

则
//平面
……………………………9分

下面证明之

∵
为
的中点，
是
的中点，

∴
//
， ……………………………10分

又

∴
//平面
……………………………11分

在正方形
中， ∵
是
的中点，

≌

∴所求
的长为
……………………………12分

22.解：（Ⅰ）
……………………………1分

依题意，
……………………………2分

解得：
……………………………4分

及
的值变化情况如下表：





















↘

极小值

↗





………………………………8分

故
的单调递减区间为
，单调递增区间为
………………………9分

（Ⅲ）当
时，
，由（Ⅱ）知，
在