一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. 已知复数满足
，则为（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知向量
,
,
,则
（ ）

A． B．
C．
D．

3. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（ ）

A.2 B.
C.
D.3

4. 设
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 设函数
是定义在R上的奇函数，
，当
时，
，

则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 下列关于命题的说法错误的是 ( )

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

B．“
”是“函数
在区间
上为增函数”的充分不必要条件；

C．若命题：
，则
：
；

D．命题“
”是真命题7. 函数y＝的图象大致是 (　　)

8. 函数
的图象如图所示，为了得到
的图象，则只要将
的图象 （ ）

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

9. 设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面,下列命题中为真命题的个数（ ）

①若
,
,
,则
②若
,
,
,则

③若
,
,则
④若
,
,
,则

A．
个 B．个 C．个 D．
个

10. 已知函数
对任意的
满足
（其中
是函数
的导函数），则下列不等式成立的是( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

11. 设数列
是等差数列,
,
, 则此数列
前
项和等于 .

12. 如图，已知幂函数
的图象过点
，则图中阴影部分的面积等于 ．

13. 若
的面积为
，
，
，则角的大小为 .

14. 已知函数
，
，若对任意
，存在
，使得
，则实数的取值范围是 .

15. 已知是函数

图象上的任意一点，
该图象的两个端点， 点
满足
，
（其中
，
为轴上的单位向量），若
(为常数)在区间
上恒成立，则称
在区间
上具有 “级线性逼近”.

现有函数：①
;②
；③
;④
.

则在区间
上具有“
级线性逼近”的函数的是 （填写符合题意的所有序号）.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）已知数列
的前项和为
，且满足

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记

，求数列
的前项和
．

17．（本小题满分13分）如图，在直三棱柱
中，
，

点D是BC的中点.

（Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；

（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值.

18．（本小题满分13分）已知函数
的图像经过点
.

(Ⅰ)求函数
的递增区间；

(Ⅱ)若
，求
的值.

19．（本小题满分13分）已知
函数
．

(Ⅰ) 求函数
的最小正周期和对称轴的方程；

(Ⅱ)设锐角
的角
的对边分别为
，且
，求
的取值范围．

20．（本小题满分14分）已知函数
在
处的切线与直线
垂直，函数
．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若函数
存在单调递减区间，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值．

21．（本小题满分14分）本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵
的两个特征值为6和1，

（Ⅰ）求
的值 （Ⅱ）求矩阵
.

（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数，
），以
为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，

（Ⅰ）写出圆
的普通方程和直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若圆
上的点到直线
的最大距离为3，求半径的值.

（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

若
为正实数且满足
，

（Ⅰ）求
的最大值； （Ⅱ）求
的最大值．

南安一中2014～2015学年度高三上学期期中考

数学科试卷参考答案（理科）

一、选择题：（5×10=50）

二、填空题：（4×5=20）

11．
12．
13．
14．
15. ①②③

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（Ⅱ）解：
，
，

……………………10分

……………………13分

17．（本小题满分13分）

（Ⅰ）连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC的中点，

所以DE//A1B， ……3分

又DE平面ADC1，A1B平面ADC1，故A1B//平面ADC1. ……5分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A—xyz,

则A（0,0,0），C(0,2,0),D(1,1,0),C1(0,2,4),…6分

是平面ABA1的一个法向量， ……7分

设平面ADC1的法向量
.

,

由

18. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
，

∴
，
， ……………………3分

∴
，

由
， 得
，

所以函数
的递增区间为
. ………………6分

(Ⅱ)
，∴
，……………………8分

∵
， ∴
，

∴
， ……………………10分

∴

. ……………………13分

19．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

…………3分

故
的最小正周期为
………4分

由
（
）得对称轴的方程为
…6分

（Ⅱ）（Ⅱ）由
得
即

………8分

由正弦定理得

=
……………10分

三角形为锐角三角形
且
，

即
且
可得

…………11分

的取值范围为
. ………13分

20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）∵
，∴
.…………1分

∵与直线
垂直，∴
，∴
. …………3分

（Ⅱ）

由题知
在
上有解，
设
，则
，所以只需
故b的取值范围是
. …………8分

(III)
，所以令

所以设

21. （本小题满分14分）

（1）（Ⅰ）依题1，6是关于
的方程，

的两个根，由韦达定理有
…………4分

（Ⅱ）
，所以
…………7分

（2）（Ⅰ）圆C的普通方程为：
，

直线
的直角坐标方程为：
…………3分

（Ⅱ）圆C的圆心C到
的距离

圆C上的点到
的距离的最大值为
，所以
…………7分