1． 命题“对任意的x∈R，x2＋1>0”的否定是（ ▲ ）

A．不存在x∈R，x2＋1>0 B．存在x∈R，x2＋1>0

C．存在x∈R，x2＋1≤0 D．对任意的x∈R，x2＋1≤0

2． 已知集合
，集合
，且
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

3． “sinα≠sinβ”是“α≠β”的（ ▲ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4． 若a，b，c为实数，且a

A．ac2 D．a2>ab>b2

5． 已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图像如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是（ ▲ ）

9． 定义：
，其中为向量与
的夹角，若
，则
（ ▲ ）

A．6 B．8 C．－8 D．8或－8

10．已知函数
是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有
成立，当
且
时，都有
. 给出下列命题：

①函数
一定是周期函数； ②函数
在区间
上为增函数；

③直线
是函数
图像的一条对称轴； ④函数
在区间
上有且仅有4个零点.

其中正确命题的个数是（ ▲ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.

11．已知函数
，则
等于 ▲ .

12．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，则C1的离心率＝ ▲ .

13．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝7，(a、b均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a＋b＝ ▲ .

14．若定义在
上的函数
的值域为
，则
的最大值是 ▲ .

15．已知
是△AOB所在的平面内的n个相异点，且
. 给出下列命题：

①
； ②
的最小值不可能是
；

③点
在一条直线上； ④向量
及
在向量
的方向上的投影必相等.

其中正确命题的序号是 ▲ .（请填上所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.

16．（本小题满分13分）

已知全集U=R，
，集合
.

(1)当
时，求
；

(2)命题p：
，命题q：
，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.

17．（本小题满分13分）

已知向量a＝，b＝，记函数f(x)＝a·b.

(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c＝，f(C)＝，若向量m＝与

n＝共线，求a，b的值.

18．（本小题满分13分）

平面直角坐标系中，点M的坐标是
，曲线
的参数方程为
（为参数），在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
.

(1)将曲线
和
化成普通方程，并求曲线
和
公共弦所在直线的极坐标方程；

(2)若过点M，倾斜角为
的直线l与曲线
交于A，B两点，求
的值.

19．（本小题满分13分）

经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足
(其中
，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本
万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为

元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.

20．（本小题满分14分）

已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M(1，)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x＝4上任意一点，且T不在x轴上，

(ⅰ)求·的取值范围；

(ⅱ)若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）.

21．（本小题满分14分）

已知函数
(
R)，曲线
在点
处的切线方程为
.

(1)求实数a的值，并求
的单调区间；

(2)试比较
与
的大小，并说明理由；

(3)是否存在k∈Z，使得
对任意
恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由.

厦门双十中学2014-2015学年（上）期中检测

高三数学（理科）参考答案及评分标准（2014-11-13）

17．（本小题满分13分）

【解析】

(1)依题意，

3分

所以最小正周期
， 4分

令
，解得
，

所以
的单调递增区间是：
. 6分

(2)由
，得
， 7分

因为
，所以
，所以
，解得
， 8分

因为向量m＝与n＝共线，所以
，由正弦定理得
，…① 9分

在△ABC中，由余弦定理得
，即
，……………………② 11分

由①②，解得
. 13分

19．（本小题满分13分）

【解析】

(1)由题意知，
， 3分

将
代入化简得：
（
）. 6分

(2)
， 8分

当且仅当
时，上式取等号. 9分

当
时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 10分

当
时，
在
上单调递增， 11分

所以
时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，厂家的利润最大. 12分

综上，当
时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；

当
时，促销费用投入万元，厂家的利润最大. 13分

20．（本小题满分14分）

【解析】

(1)设椭圆C的方程为
，则

解得
，所以椭圆
. 4分

(2)

(ⅰ)易得
， 5分

①若直线
斜率不存在，则
，此时
，
，
＝
； 6分

②若直线
斜率存在，设
，
，则

由
消去得：
7分

∴
，
8分

∴


＝
9分

∵
∴
∴
∴

综上，
的取值范围为
． 10分

(ⅱ)线段MN的中点为Q，则由(ⅰ)可得，
， 11分

所以直线OT的斜率
，所以直线OT的方程为：
， 12分

从而
，此时TF的斜率
， 13分

所以
，所以TF⊥MN. 14分

21．（本小题满分14分）

【解析】

(1)依题意，
， 1分

所以
，又由切线方程可得
，即
，解得
，

此时
，
， 3分

令
，所以
，解得
；令
，所以
，解得
，

所以
的增区间为：
，减区间为：
. 5分

(2)

解法一：

由(1)知，函数
在
上单调递减，所以
，即

9分

解法二：

，因为

所以
，所以
. 9分

(3)若
对任意
恒成立，则
，记
，只需
.

又
， 10分

记
，则
，所以
在
上单调递减.

又
，
，

所以存在唯一
，使得
，即
， 11分

当
时，
的变化情况如下：











＋

0

－





＋

0

－





↗

极大值

↘



 12分

所以
，又因为
，所以
，

所以
，

因为
，所以
，所以
， 13分

又
，所以
，

因为
，即
，且k∈Z，故k的最小整数值为3.

所以存在最小整数
，使得
对任意
恒成立. 14分