1.已知集合
，集合
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2．如图在复平面内，复数
对应的向量分别是
，则复数
的值是

A．
B．
C．
D．

3．若向量
，则下列结论正确的是

A．
B.
C．
D．

4. 在等差数列
中，已知
，则该数列前11项和

A．58 B．88 C．143 D． 176

5.已知双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝

A．2 B. C. D．1

6. 已知函数
若
=4，则实数=（ ）

A.
B.
C. 2 D. 9

7．设抛物线
上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是

A．4 　 　 B.6 　　 C.8 　　 D.12

8．“
”是“一元二次方程
有一个正根和一个负根”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．当x>1时，不等式x+
≥a恒成立，则实数a的取值范围是

A．(－∞,2] B．[2,+∞) C．[3,+∞) D．(－∞,3]

10. 已知函数
，则函数
满足

A．
的最小正周期是
； B．若
，则
；

C．
的图象关于直线
对称； D．当
时，
的值域为

11．若x,y满足
仅在点（1，0）处取得最小值，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D。

12.已知函数
，若
中，角C是钝角，那么

A．
B．

C．
D．

二.填空题（每题4分，共16分）

13． 函数
的定义域为_________

14. 已知为钝角，且
,则
= ；

15.圆心在直线
上的圆
与轴的正半轴相切，圆
截轴所得弦的长为
，则圆
的标准方程为　　。

16. 给出下列四个命题中： ①命题：
； ②

③
④对
，则
.

其中所有真命题的序号是 .

三.解答题

18．(本小题满分13分)

在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知
, a = 3,
.

(Ⅰ) 求b的值;

(Ⅱ) 求
的值.

19．（本小题满分12分）已知等差数列
的前项和为
，且
，
.

（Ⅰ）求
及
；（Ⅱ）若数列
的前项和
，试求
并证明不等式
成立.

20. （本小题满分12分）已知椭圆E的方程：
(
)，它的两个焦点为
，P为椭圆的一点(点在第三象限上), 且
的周长为
，

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若以点P为圆心的圆过椭圆的左顶点M与点
， MP交圆P与另一点N,若点A在椭圆E上，使得
，求点A的坐标.

21．（本小题满分12分）

经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足
(其中
，a为正常数)．已知生产该批产品P万件还需投入成本
万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为
元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

22．（本小题满分14分）已知函数
，

（Ⅰ）求f(x)的最小值；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）是否存在常数K，使
恒成立，若存在，求出K的最大值，若不存在，说明理由.

厦门双十中学2015届高三数学（文）期中考试卷

2014.11.13

11. C【解析】画出区域图，可知当
时，
，即
，符合题意；

当
时，
，斜率
，即
时符合题意；

当
时，
，斜率
，即
时符合题意； 综上，

12【解析】因为
，所以
，

故函数
在区间
上是减函数，又A、B都是锐角，且

所以
，所以
，故
选A

二、 13.
14.
15.
16. ③ ④

16. ③ ④ 【解析】
故①错；画
，
图可知②错；

设
，
，可知
在
减，在
递增，

； ③ 正确
为原点到
的距离的平方，为4，所以 ④正确.

19．（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，

,得

，
，
----------------------------------------------4分

--------------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）
------------------------------9分

------------------------------------------11分

又因为
，所以

所以
-----------------------------------------------------------------12分

21．(1)由题意知，
，----------------------------------------------3分

将
代入化简得：
（
）. ----------------------- 6分

(2)

当
时,

时
， 所以函数
在
上单调递增

时
，所以函数
在
上单调递减

促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;------------------------------------------------------9分

当
时, 因为函数
在
上单调递增

在
上单调递增,

所以
时,函数有最大值．即促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .

综上,当
时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;

当
时, 促销费用投入万元，厂家的利润最大 -------------------------------12分

（注：当
时，也可：
，

当且仅当
时，上式取等号）

22【解析】（Ⅰ）f(x)的定义域为
f(x)的导数
. ---------------------1分

令
，解得
；令
，解得
.

从而f(x)在
单调递减，在
单调递增. ------------------------------------------------3分

所以，当
时，f(x)取得最小值1
. -------------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）
，

当
是单调递减函数；-------------------------------------------5分

当>0时，令
的变化情况如下表：

x

(0，
)







f′(x)

-

0

+



f(x)

↘

极小值

↗



从上表可以看出：当>0 时，f(x)在区间上
是单调增函数------------------------------7分

在上(0，
)是单调递减函数 -------------------------------------8分

(Ⅲ)

所以
, 恒成立

即
恒成立--------------------------------------------------------------------9分

由（Ⅱ）可知，当
，
在区间
上是减函数， 在区间
上是增函数

故当
时，
的最小值为
----------------11分

又由（Ⅰ）可知，当
时，f(x)取得最小值
1
>0 -----------12 分

故函数
当
时，取得最小值

--------------------------------------------------------------------------------13分

即K的最大值为
---------------------------------------------------------------------14分