甘肃省高台县第一中学2014年秋学期期中试卷高三文科数学试卷

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，则
等于（ ）

A．
B．

C．
D．

2．设复数z=2+bi (b∈R)且
=2
，则复数的虚部为 ( )

A. 2 B.±2i C.±2 D. ±2

3．已知函数
，其中
为常数．那么“
”是“
为奇函数”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若点
在函数
的图象上，则
的值为（ ）

A、
B.
C. D.

5．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（ 　 ）

A．102 B．39 C．81 D．21

6．已知向量
（ ）

A、—3 B.—2 C.l D.－l

7．为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像

A、向左平移
个长度单位 B.向右平移
个长度单位

C.向左平移
个长度单位 D.向右平移
个长度单位

8．下列函数中,既是偶函数又在区间（0,+ ∞）上单调递减的是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
的图象如图，则函数
的图象可能为（ ）

A． B． C． D．

10．已知
则
的大小关系为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．定义在R上的函数
在（－∞，2）上是增函数，且
的图象关于轴对称，则（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，则函数
的零点所在的区间是（ ）

A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）

第II卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知为第二象限角，
，则
．

14．平面向量
与
的夹角为
，
，
，则
．

16．已知
，
．若同时满足条件：

①
；

②
，

则的取值范围是 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）设△
的内角
的对边分别为
，且
．

（1）求角的大小；

（2）若
，
，求a，c，的值．

18．（本小题满分12分）已知等差数列
满足：
，
，
的前n项和为
．

（1）求
及；

（2）令
(nN*)，求数列
的前n项和
．

19．（本小题满分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且
．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；

（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

20．（本小题满分12分）高三年级有3名男生和1名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自己的高考成绩情况，最终估计这3名男生报此所大学的概率都是
，这1名女生报此所大学的概率是
．且这4人报此所大学互不影响。

（Ⅰ）求上述4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率；

（Ⅱ）在报考某所大学的上述4名学生中，记
为报这所大学的男生和女生人数的和，试求
的分布列和数学期望．

21．（本小题满分12分）已知定义域为的函数
是奇函数．

（1）求
的值；

（2）用定义法证明函数
在上是减函数；

（3）若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所选题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．

22．（本小题满分10分）在
中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。

（1）求证：
；

（2）若AC=3，求
的值。

23．（本小题满分10分）已知曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
．

（1）将曲线
的参数方程化为普通方程，将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）曲线
，
是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

24．（本小题满分10分）设函数
,其中
．

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若不等式
的解集为
,求的值

17.解析：（1）
，由正弦定理得
即得
，又

.

（2）
，由正弦定理得
，由余弦定理
，
，解得
，
.

18．

19. 分析：（1）证法一：设O为AB的中点，连结A1O，

∵AF=
AB ，O为AB的中点

∴F为AO的中点，又E为AA1的中点

∴EF∥A1O

又∵D为A1B1的中点，O为AB的中点

∴A1D=OB 又A1D∥OB

∴四边形A1DBO为平行四边形

∴A1O∥BD 又EF∥A1O ∴EF∥BD

又EF平面DBC1 ， BD平面DBC1 ∴EF∥平面DBC1 （6分）

证法二：建立如图所示的坐标系。（坐标系建立仅为参考）



∵AB=BC=CA=AA1=2，D、E分别为A1B1、AA1的中点，AF=
AB

E（-1，0，1），F
，B（1，0，0），D（0，0，2），C1（0，
）

设平面平面DBC1的法向量为

,
,

令z=1,则y=0,x=2

∴
又EF平面BDC1 ∴EF∥平面BDC1 （6分）

（2）设面EBC1的法向量为

，

令x=1,则z=2，y=-
∴

cos＜
＞=

由图知二面角E－BC1－D为锐二面角，所以二面角的余弦值为
（12分）

20．（1）

（2）ξ的公布列为：

ξ

0

1

2

3

4



P













∴E（ξ）=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=

21.解析：（1）由
可得

（2）由（1）可得：
．
，则
，

∴
，

∴
．

∴函数f（x）在R上是减函数．

（3）可得
,

函数
为上的减函数

所以有

所以
解得

∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA

∴△PCD～△BAD

∴

又∵AB=AC

∴
（5分）

（2）连结BP。∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB

又∵四边形ABCP内接于圆 ∴∠ACB=∠APB

从而∠ABC=∠APB 又∠BAP=∠BAD

∴△PAB～BAD ∴
∴

又∵AB=AC=3 ∴
=
（10分）

23．（1）
；（2）
．

24．解：（1）当
时，
可化为
．由此可得
或
．

故不等式
的解集为

（2）由
得
此不等式化为不等式组

或
即
或

因为
，所以不等式组的解集为
， 由题设可得
，

故
．