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| 简介：
一、选择题（本大题满分60分，每小题5分） 1．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A．x≥0 B．x＜0或x＞2 C．x∈{－1，3，5} D．x≤－或x≥3 2．设p：y＝cx(c＞0)是R上的单调递减函数；q：函数g(x)＝lg(2cx2＋2x＋1)的值域为R.如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则c的取值范围是( ) A. B. C.∪[1，＋∞) D. 3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则 a9＝( )． A．－6 B．－ 4 C．－2 D．2 4．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列； p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为( )． A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 5．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1 A．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5) B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5) C．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5) D．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7) 6．已知函数f(x)＝ln(x＋)，若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．不确定 7．若f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋3)＝f(x)，f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 8．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝3f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2－2x，则当x∈[－4，－2]时，f(x)的最小值是( ) A．－ B．－ C. D．－1 9．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值等于( ) A. B. C. D. 10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是( ) A. B. C. D. 11．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足·＋||2＝·＋||2，则点O( ) A．在AB边的高所在的直线上 B．在∠C平分线所在的直线上 C．在AB边的中线所在的直线上 D．是△ABC的外心 12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x＞0时，有＜0恒成立，则不等式x2f(x)＞0的解集是( ) A．(－2，0)∪(2，＋∞) B．(－2，0)∪(0，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0，2) 二、填空题（本大题满分20分，每小题5分） 13．已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部最大值为__________，虚部最大值为__________． 14．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________． 15．若等比数列{an}的首项为，且a4＝，则公比等于___ _． 16．已知函数f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________． 三、解答题（本大题满分70分） 17．（10分）已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)， α∈，且a⊥b. (1)求tanα的值； (2)求cos的值． 18．(12分)若数列{an}的前n项和Sn＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn. 19．(12分)已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝. (1)当a＝时，求(?UB)∩A； (2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 20．(12分)已知平面向量a＝，b＝. (1)证明：a⊥b； (2)若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t2－k)b，y＝－sa＋tb，且x⊥y，试求s＝f(t)的函数关系式； (3)若s＝f(t)在[1，＋∞)上是增函数，试求k的取值范围． 21．(12分)已知函数. （1）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合； （2）已知中，角的对边分别为若求实数的最小值. 22.(12分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a2＝4b时，求函数f (x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 12.解析：当x＞0时，＜0，即′＜0，令y＝，则函数y＝在区间(0，＋∞)上为减函数，又f(x)在定义域上是奇函数，∴函数y＝在定义域上是偶函数，且＝0，则＞0在区间(0，＋∞)上的解集是(0，2)；函数x2f(x)＝x3·是定义域上的奇函数，则x2f(x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(0，2)，故选D. 二、填空题 13. 14.2 15. 3 16.a≥1 16.解析：设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(0，＋∞)， 则F′(x)＝＋2－2ax－a＝，x∈(0，＋∞)． 当a≤0时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，F(x)≤0不可能恒成立． 当a＞0时，令F′(x)＝0，得x＝，或x＝－(舍去)． 当0＜x＜时，F′(x)＞0；当x＞时，F′(x)＜0.故F(x)在(0，＋∞)上有最大值F，由题意F≤0恒成立，即ln＋－1≤0. 令φ(a)＝ln＋－1，则φ(a)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln＋－1≤0成立的a的范围是a≥1. 三、解答题 17.解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0. 而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)， 故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0. 由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解得tanα＝－，或tanα＝. ∵α∈，tanα＜0，∴tanα＝(舍去)． ∴tanα＝－. (2)∵α∈，∴∈. 由tanα＝－，求得tan＝－，或tan＝2(舍去)．∴sin＝，cos＝－， cos＝coscos－sinsin ＝－×－×＝－. 18.解析：(1)由题意Sn＝2n，得Sn－1＝2n－1(n≥2)，两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)． 当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2. ∴an＝ ∵bn＋1＝bn＋(2n－1)， ∴b2－b1＝1， b3－b2＝3， b4－b3＝5， … bn－bn－1＝2n－3. 以上各式相加，得 bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝＝(n－1)2. ∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n. ∴cn＝ ∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1， ∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n. ∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n＝－(n－2)×2n ＝2n－2－(n－2)×2n＝－2－(n－3)×2n. ∴Tn＝2＋(n－3)×2n. 19.解析：(1)当a＝时，A＝，B＝.?UB＝. (?UB)∩A＝. (2)若q是p的必要条件，即p?q，可知A?B， ∵a2＋2－a＝＋＞0 ∴a2＋2＞a，故B＝{x|a＜x＜a2＋2}， 当3a＋1＞2，即a＞时，A＝{x|2＜x＜3a＋1}， ∴解得＜a≤； 当3a＋1＝2，即a＝时，A＝?，符合题意； 当3a＋1＜2，即a＜时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}． ∴解得－≤a＜； 综上，a∈. 20.解析：由题知|a|＝|b|＝1. (1)因为a·b＝×－×＝0，所以a⊥b. (2)由于x⊥y，则x·y＝0， 从而－s|a|2＋(t＋sk－st2)a·b＋t(t2－k)|b|2＝0， 故s＝f(t)＝t3－kt， (3)∵s＝t3－kt在[1，＋∞)上是增函数， ∴s′＝3t2－k≥0在[1，＋∞)上是恒成立． 即k≤3t2在[1，＋∞)上恒成立，而3t2≥3，∴只需k≤3. ∴k的取值范围是(－∞，3]． 21.解析：(1) . ∴函数的最大值为.要使取最大值，则 ，解得. 故的取值集合为. 6分 （2）由题意，，化简得 ，，∴， ∴ 在中，根据余弦定理，得. 由，知，即. ∴当时，实数取最小值 12分 22.解析：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b. 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b， 解得a＝3，b＝3. (2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a2时，h(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋a2. 令h′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－. a＞0时，h(x)与h′(x)的情况如下： x － － h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) ↗ ↘ ↗ 所以函数h(x)的单调递增区间为和； 单调递减区间为. 当－≥－1，即0＜a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增， h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－a2. 当－＜－1，且－≥－1，即2＜a≤6时， 函数h(x)在区间内单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1. | ||||||||||||||||||||||||||||||
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