一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

2．等差数列
中，若
，则
的值为

A．250 B．260 C．350 D．360

3．已知圆的方程为
.设该圆过点（-1，4）的最长弦和最短弦分别为
和
，则四边形
的面积为

A．15　　 　B．30　　　　 　C．45　　　　 D．60

4．若
、、是互不相同的空间直线，、
是不重合的平面，则下列结论正确的是

A．


B．

C．


D．

5．已知向量
，
，若
与
共线，则
等于

A．
B．
C．
D．

6．偶函数
满足：
，且在区间[0，3]与
上分别递减和递增，则不等式
的解集为

A．
B．

C．
D．

7．若
，则

A．
B．
C．
D．

9．若不等式
对于任意正整数都成立，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．如图，地在高压线 (不计高度)的东侧0.50km处，地在地东北方向1.00km处，公路沿线
上任意一点到地与高压线的距离相等．现要在公路旁建一配电房向、两地降压供电(分别向两地进线) ．经协商，架设低压

线路部分的费用由、两地用户分摊, 为了使分摊费

用总和最小，配电房应距高压线

A．1.21km B．0.50km

C．0.75km D．0.96km

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11．化简：
= ．

12．若
，且
，则
的最大值为 ．

13．已知五个实数
依次成等比数列，则
= ．

14．若不等式组
所表示的平面区域被直线
分为面积相等的两部分，则的值是_________．

15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

（

（第15题图） （第16题图）

16．把边长为1的正方形
如图放置，、别在轴、轴的非负半轴上滑动．

（1）当点与原点重合时，
= ；

（2）
的最大值是_________．

17．用
表示不超过的最大整数，例如
，
，设函数
．

(1)
；

（2）若函数
的定义域是
，
，则其值域中元素个数为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分12分）已知函数
．

（1）求函数
的单调递减区间；

（2）设
的最小值是
，求
的最大值．

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，
，
是矩形，是棱
的 中点，
，
．

（1）证明
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

21．（本小题满分14分）已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为
，且经过点
，直线
交椭圆于异于M的不同两点
．直线
轴 分别交于点
．

（1）求椭圆标准方程；

（2）求的取值范围；

（3）证明
是等腰三角形．

22．（本小题满分14分） 已知函数
R
，曲线
在点
处的切线方程为
．

（1）求
的解析式；

（2）当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）设是正整数，用表示前个正整数的积，即
．

求证：
．

华中师大一附中2014-2015学年度上学期高三期中检测

数学（文科）试题参考答案

三、解答题

18．解析：（1）

，

令
，得
，

的单调递减区间
……6分

（2）
，

；

，令

所以

……12分

19．解析：（1）连
交
于，连

则
是
的中位线，所以
，

因为
，
，

． ………6分

(2)

由两平面垂直的性质定理得，

所以
，

因为
，
，

即直线
所成角的正弦值是
． ………12分

20．解析：（1）当
时：
，

两式相减得：
，∴

，

又
也适合上式，∴数列
的通项公式为

．

（也可直接求出
，再求
） ………7分

（2）由（1）得
，

于是

所以

令

，得

所以的最小值为100 ． ………13分

21．解析：（1）设椭圆的方程为
因为
，所以
，

又因为椭圆过点
，所以
，解得
，

故椭圆标准方程为
………4分

（2）将
代入
并整理得

令

，解得
．

又由题设知直线不过M(4,1)，所以
，

所以的取值范围是
． ………8分

=

=0，

，

所以
是等腰三角形． ……………14分

22．解析（1）∵
， ∴
.

∵直线
的斜率为
，且曲线
过点
，

∴
即
解得
.

所以
…………4分

（2）由（1）得当
时，
恒成立即
，

等价于
.

令
，则
.

令
，则
.

当
时，
，函数
在
上单调递增，故
.

从而，当
时，
，即函数
在
上单调递增，

故
.

因此，当
时，
恒成立，则
.

∴的取值范围是
. ………11分

（3）由（2）知，当
时，
（
时），

又
时
也成立，

所以当
时，
， 于是

，
，
，
，