2014/2015学年第一学期联盟学校高三期中联考数学(理)试卷

命题：桐乡一中 冯晓华 审核、定稿：余杭二高 王立峰

海盐高级中学 陈国伟

长河高级中学 林子仪

考试说明：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将

答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

2.本卷共150分，考试用时120分钟。

3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1．已知全集U=R，集合A=
，B=
，则

（A）
（B）
（C）
　　 （D）

2.若
，则有

（A）
（B）
（C）
（D）

3.设
为实数，命题甲：
.命题乙：
，则甲是乙的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

4.已知
是等比数列，其中
是关于的方程
的两根，且
，则锐角的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

5．设，
，是空间三条直线，，
是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是

（A）当
时，若⊥
，则∥
（B）当
时，若
⊥
，则

（C）当
，且是在内的射影时，若
，则

（D）当
，且
时，若∥，则
∥

6．已知为第二象限角，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

7．如果在约束条件
下，目标函数
最大值是
，则＝

（A）
（B）
（C）
（D）

8．点是双曲线
与圆
的一个交点，且
，其中
、
分别为双曲线
的左右焦点，则双曲线
的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

9.已知一个高度不限的直三棱柱
，
，
，
，点是侧棱
上一点，过作平面截三棱柱得截面
给出下列结论：①
是直角三角形；②
是等边三角形；③四面体
为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体。其中有可能成立的结论的个数是

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

10.已知函数
。定义：

满足
的点
称为
的阶不动点。则
的阶不动点的个数是

（A）
个 （B）
个 （C）
个 （D）
个

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都

是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸(单位:
)，得这

个几何体的体积等于 ▲

12.过点
的直线
与圆
交于

两点，当
最小时，直线
的方程为 ▲

13.已知
则
▲ ____

14.已知函数
为奇函数，则
▲

15.如图，
是单位圆的一条直径,是线段
上的点， 且
，若
是圆中绕圆心运动的一条直径，则
的值是 ▲

16．若
对于任意的
恒成立，则实数的值为 ▲

17.已知函数
，若
且
，则
的取值范围__ ▲ __.

三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本题满分14分）

已知函数
．设
时
取到最大值．

（1）求
的最大值及的值；

（2）在
中，角
所对的边分别为
，
，且
，

求
的值．

19．（本题满分14分）

设数列
，其前项和
,
为单调递增的等比数列，
，
.

（1）求数列
，
的通项；

（2）若
，数列
的前项和
，求证：
.

20. （本题满分14分）

如图，平面
⊥平面
，
，△
为等边三角形，
∥
，过
作平面交
、
分别于点
、
．

(1)求证：
∥
；

(2) 设
，求( 的值，使得平面
与平面
所成的锐二面角的大小为45(.

21．（本小题满分15分）

已知椭圆
：
的一个焦点与抛物线
的焦点相同，
在椭圆上，过椭圆的右焦点作斜率为
的直线
与椭圆交于
两点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为，记直线
的斜率为
。

（1）求椭圆方程；

（2）求
的取值范围。

22．（本题满分15分）

已知函数
，

（1）若
的解集
，求实数的取值范围；

（2）若
在区间
内有两个零点
求实数的取值范围。

2014/2015学年第一学期联盟学校高三期中联考

数学(理)答案

一、选择题：5分/小题

BABCB ACACD

二、填空题：4分/小题

11.
12.
13.
14.
15.
16. －4或8 17.

三、解答题

18. （1）依题
（3分）

又
，则
，（5分）

故当
即
时，
（8分）

（2）由（1）知
，（9分）

由
即
，（10分）

又
，（12分）

则
即
，

故
（14分）

19. 【解】（1）an=-6n+3,bn=2n+1;（4分）

(2)
（8分）

＝

＝

因｛ Tn ｝ 是递增数列，（12分）

所以
（14分）

20. 【解】方法一： (Ⅰ) 证明：因为 PE∥CB， 所以BC∥平面APE …………… 3分

又依题意平面ABC交平面APE于MN，故MN∥BC，所以 MN∥PE ……………… 6分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知MN∥BC，故C、B、M、N

共面，平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N—CB—A．

因为平面PAC⊥平面ABC，

平面PAC∩ 平面ABC = AC，且CB⊥AC，所

以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知
为二面角N—CB—A的平面角……10分

所以
．在△NCA中运用正弦定理得，

．

所以，
． ……14分

方法二：

(1) 证明：如图以点C为原点建立 空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA ＝1，CB＝t（t >0），
，则
，
，
，

，
．由
，得

，
，
．

=(0，0，1) 是平面
的一个法向量，且

，故

．

又因为MN平面ABC，即知MN∥平面ABC．

(2) 解：
，
，设平面CMN的法向量
，则
，
，可取
，

又
=(0，0，1) 是平面
的一个法向量．

由
，以及
可得

，即
．解得
（将
舍去），故
．

21. 解：（1）由题设可知：
，

故所求的椭圆方程为：
（4分）

（2） 点
，设直线
的方程为：
，

得

设
，
，则有
，
（8分）

直线
：
，故
，同理可得

∴ 点
（10分）

＝

＝
（13分）

∴

又 ∵

∴
（15分）

22. 解：（1）若
，则
（1分）

若
则
（4分）

综合得：
（5分）

（2）