满分[ 150]分 ，时间[120]分钟 2014年11月

参考公式：

柱体的体积公式:
( 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高)

锥体的体积公式:
(其中表示锥体的底面积，表示锥体的高)

台体的体积公式:
(其中
分别表示台体的上底、下底面积，表示台体的高)

球的表面积公式:
, 球的体积公式
(其中表示球的半径)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合
，
，则
=（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

2.函数
的值域是 ( ▲ )

A． B．
C．
D．

3.已知为一条直线,
为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ）

A.若
B.若
则

C.若
D. 若

4.已知函数
=（ ▲ ）

A．2 B．—2 C．
D．—

5.已知
，且是的必要不充分条件，则的取值范围为（▲）

A．
B.
C．
D.

6.函数
的图象向左平移
个单位得函数
的图象，则函数
的解析式是 ( ▲ )

A．
B．

C．
D．

7.已知等差数列
的前项和为
且满足
,则
中最大的项为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知点P是双曲线C：
左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（ ▲ ）

A．
B．2 C．
D．

9.已知
是圆
：
上的两个点，是
线段上的动点，当
的面积最大时，则
的最大值是（ ▲ ）

A.
B. 0 C.
D.

10.设非空集合
满足：当
时，有
，给出如下三个命题：

①若
则
；②若
则
； ③若
则
．

其中正确命题的是（ ▲ ）

A.① B.①② C.②③ D.①②③

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.若
，则
▲ ．

12.如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为 2,

高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_▲ ．

13.若x，y满足不等式组
则2x＋y的最大值是__▲ ．

14.已知向量
满足
，且
在
方向上的投影与
在
方向上的投影相等，则
等于__▲ ．

15.设抛物线
的焦点为F,过点F的直线与抛物线
交于
两点,过
的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P,若
,则弦长
等于__▲ ．

16.记数列
的前和为
，若
是公差为
的等差数列，则
为等差数列时,
的值为 ▲ ．

17.设
是正实数，且
，则
的最小值是___▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

已知函数
，其相邻两个零点间的距离为
．

（1）求
的解析式；

（2）锐角
中，
的面积为
，求
的值．

19．（本小题满分14分）

已知数列
中，

（1）求证：
是等比数列，并求
的通项公式
；

（2）数列
满足
，数列
的前n项和为
，若不等式
对一切
恒成立，求
的取值范围.

20. （本小题满分14分）

如图，在梯形
中，
，
，四边形
为矩形，平面
平面
，
.

（1）求证：
平面
；

（2）点
在线段
上运动，设平面
与平面
所成二面角的平面角为
，试求
的取值范围.

21. （本小题满分15分）

已知椭圆
的离心率为
，且经过点
．

(1)求椭圆的方程；

(2)如果过点
的直线与椭圆交于
两点（
点与点不重合），

求
的值；

当
为等腰直角三角形时，求直线
的方程．

22. （本小题满分15分）

已知函数
．

（1）当
时，求函数
的单调递增区间；

（2）求所有的实数，使得对任意
时，函数
的图象恒在函数
图象的下方；

（3）若存在
，使得关于的方程
有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

解：（1）
…………………3分

由题可知，
………………………5分

…………………………………………………7分

（2）

又由锐角
知，角为锐角，
…………………………9分

……………………………………………………………12分

……………………………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

（2）

， 两式相减得

若n为偶数，则

若n为奇数，则

（2）由（I）可建立分别以直线
为
的如图所示空间直角坐标系，令
，则
，

∴

设
为平面MAB的一个法向量，

由
得

取
，则
，…………8分

∵　
是平面FCB的一个法向量

∴
…10分

∵
∴　当
时，
有最小值
，

当
时，
有最大值
。 ∴
…………………14分

21. （本小题满分15分）

解：（1）因为椭圆经过点

，因为
，解得
，

所以椭圆的方程为
．

（2）若过点
的直线的斜率不存在，此时
两点中有一个点与点重合，不满足题目条件．

所以直线
的斜率存在，设其斜率为，则
的方程为
，

把
代入椭圆方程得
，设
，则
，

，
，

因为
，所以

由知：
，如果
为等腰直角三角形，设
的中点为，则

，且

若
，则
，显然满足
，此时直线
的方程为
；

若
，则
，解得
，所以直线
的方程为
，即
或
．

综上所述：直线
的方程为
或
或
．

22. （本小题满分15分）

解：（1）由
得函数的单调递增区间为
和
；

（2）由题意得对任意的实数
，
恒成立，

即
，当
恒成立，即
，
，
，

故只要
且
在
上恒成立即可，

在
时，只要
的最大值小于且
的最小值大于即可，

而当
时，
，
为增函数，
；

当
时，
，
为增函数，
，所以
；

；

综上所述，实数的取值范围为
．