命题人：赵国义 审核与校对：宋春雷、张相国

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.

第
Ⅰ卷

一、选择
题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合
，集合
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2． 已知
，
，则 （ ）

（A）
（B）
（C
）
（D）

3．已知命题
则
是
（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

4. 在
中，
，则
等于 （　　）

（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）

5．已知
的展开式中常
数项为
，则常数
= （ ）

（A）
（B）
（C）1 （D）
;

6．已知点
,
,
,
，则向量
在
方向上的投影为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7．设l，m，
表示三条直线，
表示两个平面，给出下列四个命题：

①若
∥

，则
；

②若


，
是
在
内的射影，
，则
；

③若
，则
∥
；

④若
，
∥
，
，则
. 其中真命题为 （ ）

（A）①②④ （B）①②③ （C）①③ （D）①②③④

8.将函数
的图像向左平移
个长度单位后，所得到的图像关于
轴对称，则
的最小值是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9．运行如图的程序
框图，设输出数据构成的集合为
，从集合
中任取一个元素
，则函数
是增函数的概率为( )

10．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l

的斜率的取值范围是 （ ）

（A）[－
，

] （B）[－2，2] （C）[－4，4] （D）[－1，1]

11．函数
的图象大致是（ ）

12. 已知定义在

上的偶函数
满足
，当
时，
，如果函数
有两个零点，则实数
的值为 （ ）

（A）
（

） （B）
（

） （C）
或
（D）
或
（

）

宁城县高三年级摸底统一考试
（2014.10.20）

数学试题（理科）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．若复数z满足
（i是虚数单位），则z ＝_____________;

14．某校举行的数学建模比赛，全体参赛学生的
比赛成绩
近似服从正态分布
，
，参赛学生共600名.若
在
内的取值概率为0.48，那么90分以上（含90分）的学生人数为 .

15．已知x, y满足条件
则
的最小值为

;

16．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为_______________.

三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）

17．（本小题满分12分）

已知数列
满足
=1，
.

（Ⅰ）证明数列
是等比数列，并求
的通项公式；

（Ⅱ）证明：
.

18
．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱
中，
，
，
是棱
的中点.

（Ⅰ）证明：
⊥平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

19．（本小题满分12分）

为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：

新能源汽车补贴标准



车辆类型[来源:Zxxk.Com][来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

续驶里程
（公里）













纯电动乘用车


万元/辆


万元/辆


万元/辆



某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了
辆纯电动乘用车，根据其续驶里程
（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：

分组

频数

频率



























合
计







（Ⅰ）求
，
，
，
的值；

（Ⅱ）若从这
辆纯电动乘用车中
任选
辆，求选到的
辆车续驶里程都不低于
公里的概率；

（Ⅲ）若以频率作为概率，设
为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求
的分布列和数学期望
．

20．（本小题满分12分）

已知点

是椭圆
：

上一点，
分别为
的左右焦点，
，
，
的面积为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设过椭圆右焦点
的直线
和椭圆交于两点
，且
，求直线
的方程.

21．（本小题满分12分）

已知，函数
.

（Ⅰ）如果
时，
恒成立，求
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，求证：
.

四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22．选修4－
1：几何证明选讲

如图，Δ
是内接于圆
，
,直线
切
于点

，弦
，
与
相交于点
．

（Ⅰ）求证：
≌
；

（Ⅱ）若
求
．

23．选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线
参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）写出
曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线
上的点到直线
的最大距离.

24．选修4－5：不等式选讲

若
，且
，求证：

宁城县高三年级摸底统一考试（2014.10.20）

数学试题（理科）参考答案

三、1
7．解：（Ⅰ）∵
∴

∵数列
是以
为首项,2为公差的等差数列----------------3分

∴
-------------------------5分

(Ⅱ) ∵当
时
,即

∴

--
--------------------------------9分

所以
-------------12分

18.解:由题意知
，
，

所以
----------2分

又
，所以

由题设知
，

所以
，即
.

又
，所以
-------4分

（Ⅱ）解:如图，分别以C、
为
轴建立直角坐标系-----------5分

设
显然平面
的法向量为
--
-------------6分

设平面
的法向量为

∵
------8分

∴由
得
,即
------10分

∵
,

∴二面角
的余弦值为
---------12分

19. 解：（Ⅰ） 由表格可知
，所以
，
，

，
. ------------------2分

（Ⅱ）设“从这
辆纯电动车中任选
辆，选到的
辆车的续驶里程都不低于
公里”

为事件
，则
. ---------
---------4分

（Ⅲ）
的可能取值为
，
，

,
,
------------------7分

所以
的分布列为



















------------------10分

. ------------------12分

20.解: （Ⅰ）由条件得
，所以