第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）

1.设全集
，则如图所示阴影部分表示的集合为（ ）

2．纯虚数满足
，则纯虚数为 ( )

A．
B．
C．
D．
或

3．以下说法错误的是（　　）

A．命题“若
则x=1”的逆否命题为“若
1,则
”．

B． “
”是“
”的充分不必要条件．

C．若
为假命题,则
均为假命题．

D．若命题p:
R,使得
则

R,则
．

4．如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是（　　）

A．

2π

B．

3π

C．

6π

D．

9π



5．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（　　）

A.
B.
C.
D.

6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．

1

B．

﹣1

C．

﹣2

D．

0





7．定义在R上的函数满足以下三个条件：

(1)对任意的
,都有

(2) 对任意的
且
,都有

(3) 函数
的图像关于轴对称.

则下列结论正确的是 ( )

A．
B.

C.
D.

8．等腰三角形
中，
边中线上任意一点，则
的值为（ ）

A、
B、
C、5 D、

9．已知各项为正的等比数列
中，
与
的等比中项为
，则
的最小值为（ ）

A．16 B．8 C．
D．4

11．如图所示，F1，F2是双曲线
（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

A．


+1

B．


+1

C．



D．





12．在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数
在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点的概率为（　　）

A．



B．



C．



D．





第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个题考生都必须作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．在等差数列{an}中，若a1+a5+a9=
，则tan（a4+a6）=　 .

14．已知抛物线
，焦点为，准线为
，为抛物线上一点，
，为垂足，如果直线
的斜率为
，那么
.

15．已知x、y满足条件
，则u=
的取值范围是　 　.

16．已知正实数
满足
，若对任意满足条件的
，都有
恒成立，则实数的取值范围为 ．

三、解答题（共6小题，共70分，每题要有必要的解题步骤和文字说明）

17．（本小题满分12分）

已知函数
的图象过
，且△ABC内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若
,
，

（I）求的值及
的单调递增区间

（II）求△ABC的面积．

18. （本小题满分12分）

电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。

（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断你是否有95％以上的把握认为“体育迷”与性别有关?

非体育迷

体育迷

合计



男









女









合计









（2）将日均收看该体育项目不低于50

分钟的观众称为“超级体育迷”，

已知“超级体育迷”中有2名女

性，若从“超级体育迷”中任意

选取2人，求至少有1名女性观

众的概率。

19. （本小题满分12分）

如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE⊥面CBB1．

（1）证明：DE∥面ABC；

（2）求四棱锥C﹣ABB1A1与圆柱OO1的体积比．

20、（本小题满分12分）

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率
，直线
与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，点M是椭圆上异于Al，A2的任意一点，设直线MA1，MA2的斜率分别为
，证明
为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，在点
处的切线方程为
．

（1）求函数
的解析式；

（2）若对于区间
上任意两个自变量的值
，都有
，求实数的最小值；

（3）若过点
，可作曲线
的三条切线，求实数的取值范围．

请从下面所给的第22、23、24三题中选定一题作答，多答按所答第一题评分．

22. （本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图,
点在圆
直径
的延长线上，
切圆
于点，
的平分线
交
于点,交
于点．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
，（为参数，为倾斜角，且
）与曲线
交于
两点.

（1）写出直线
的一般方程及直线
通过的定点的坐标；

（2）求
的最大值。

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

(1)作出函数
的图象；

(2)若不等式
的解集为
，求
值

参考答案

2．A

【解析】设
，则
，则

3．C

【解析】若
为假命题,则只需
至少有一个为假命题即可．

4．D

【解析】由三视图可知，该几何体是一个由底面半径为2高为3的圆柱中间挖去一个底面半径为1的等高圆柱后余下的部分，

所以，其体积为π×（22﹣12）×3=9π．

故选D．



5．B

【解析】圆C1:（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标（﹣1，1）,关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆心坐标为（2，﹣2）

所求的圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2=1

故选B



 6．D

【解析】：第1次循环，r=1，s=0，

第2次循环，r=1，s=﹣1，

第3次循环，r=0，s=﹣1，

第4次循环，r=﹣1，s=0，

不满足判断框的条件，输出结果S=0．

故选D．

7．A

【解析】：由①可得函数的图象关于直线x=4对称；，由②可得函数在
上是增函数；

由③可得函数f（x+2）为偶函数，故f（2﹣x）=f（2+x），故函数f（x）的图象关于直线x=2对称．

综上可得，函数f（x）是周期等于4的周期函数，且函数在
上是增函数，在
上是减函数．

再由 f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），

f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2﹣0.5）=f（1.5），

故有 f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），

故选A．

8．D

【解析】在等腰三角形
中，
，所以
，所以设
边上的中线为
，所以
.
.

,又
，即
，所以
，所以
，所以
，选D.

9．B

【解析】：由已知
，再由等比数列的性质有
，

又
，
，
，故选B．





 11．B

【解析】：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，

由焦距的意义可知F2F1=2c，AF1=c，

由勾股定理可知AF2=
，

由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=2a，即
﹣c=2a，

变形可得双曲线的离心率
=
=

故选B

 12．C

【解析】：由题意知本题是一个几何概型，

∵a∈[0，1]， ∴f'（x）=1.5x2+a≥0，∴f（x）是增函数若在[﹣1，1]有且仅有一个零点，则f（﹣1）?f（1）≤0

∴（﹣0.5﹣a﹣b）（0.5+a﹣b）≤0，即（0.5+a+b）（0.5+a﹣b）≥0 a看作自变量x，b看作函数y，由线性规划内容知全部事件的面积为1×1=1，满足条件的面积为
∴概率为
=
，

故选C．



13．

【解析】：由等差数列的性质可知，a1+a5+a9=3a5=
，∴a5=

则tan（a4+a6）=tan2a5=
=

故答案为：

14．8.

【解析】由抛物线的方程
可知焦点
，准线方程为
.由题意可设
，则
，所以
.因为
，所以
,代入抛物线
，得
.，所以
.



15．

【解析】：不等式组
表示的区域如图，

16.

【解析】要使
恒成立，则有
，即
恒成立。由
得
，即
解得
或
（舍去）设
，则
，函数
，在
时，单调递增，所以
的最小值为
，所以
，即实数的取值范围是
。

17. 解：（I）∵f（0）=cos（﹣
）﹣m=﹣
∴m=1…………………2分

∴f（x）=cos（x﹣
）﹣cosx=﹣
cosx+
sinx﹣cosx=
sinx﹣
cosx=
sin（x﹣
）…………………4分

∴2kπ﹣
≤x﹣
≤2kπ+
（k∈Z），∴2kπ﹣
≤x≤2kπ+
（k∈Z），…………………6分

∴f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣
，2kπ+
]（k∈Z） …………………7分

（Ⅱ）f（B）=
sin（B﹣
）=﹣
， ∴sin（B﹣
）=﹣
，

∵0＜B＜π，∴﹣
＜B﹣
＜
，∴B﹣
=﹣
，∴B=
…………………10分

则S△ABC=
acsinB=
×2
×
×
=
， ∴△ABC的面积为
…………………12分

18. 解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，……1分

从而完成
列联表如下：

非体育迷

体育迷

合计



男

30

15

45



女

45

10

55



合计

75

25

100





…………………2分

将
列联表中的数据代入公式计算，得

…………………5分

因为
，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关。 …………6分

（2）由频率分布直方图知“超级体育迷”为5人，

从而一切可能结果所组成的基本事件空间为

其中
表示男性，
，
表示女性
。

由这10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的。

用表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则

…………10分

事件由7个基本事件组成，因而
。 …………12分

19. 解：（1）连结EO、OA，…………1分

∵E、O分别为B1C、BC的中点，∴EO∥BB1，EO=
BB1…………2分

又∵AA1、BB1为圆柱OO1的母线，

∴AA1∥BB1、AA1=BB1，可得四边形AA1B1B是平行四边形，

∵平行四边形AA1B1B中，DA∥BB1，DA=
BB1，∴DA∥EO，且DA=EO

四边形AOED是平行四边形，可得DE∥OA…………4分

∵DE?面ABC，OA?面ABC，∴DE∥面ABC；…………6分

（2）由题意，DE⊥面CBB1，由（1）知DE∥OA，

∴OA⊥面CBB1，∴结合BC?面CBB1，可得AO⊥BC，得AC=AB．

∵AB⊥AC且AA1⊥AC，AB、AA1是平面AA1B1B内的相交直线，

∴AC⊥平面AA1B1B，即AC为四棱锥C﹣ABB1A1的高．…………9分

设圆柱高为h，底半径为r，则V圆柱=πr2h，V四棱锥=
（
）?（
）h=
，

∴四棱锥C﹣ABB1A1与圆柱OO1的体积比为
=
．…………12分



20.解：（I）设椭圆的方程为

∵离心率
，∴a2=3c2，∴b2=2c2

∵直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切

∴b=

∴c2=1

∴a2=3

∴椭圆的方程为
；…………4分

（Ⅱ）证明：由椭圆方程得A1（﹣
，0），A2（
，0），

设M点坐标（x0，y0），则

∴

∴
=
×
=
=
=﹣

∴
是定值﹣
是定值．…………12分

21解（1）

根据题意，得
即
解之得

…………4分

（2）令

，解得

，

时，

则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值
，都有

所以
所以的最小值为4. …………8分

（3）设切点为
∵
， ∴切线的斜率为

则
即
，

因为过点
可作曲线
的三条切线，所以方程
有三个不同的实数解

即函数
有三个不同的零点，

则
令



0

（0，2）

2

（2，+∞）





+

0

—

0

+







极大值



极小值






即
，∴

故所求实数的取值范围为（-6,2）. …………12分

22解：（I）
为圆
的切线,∴

又知
是
的平分线, ∴

∴
即
又因为
为圆
的直径,

∴
∴
……………… 4分

（II）
,
,∴
∽
∴
…6分

又
, ∴
, ……………… 8分

∴在
中,
……………… 10分

23.（I）
（为参数，为倾斜角，且
）

…………5分

（Ⅱ）
的参数方程为
（为参数），

椭圆方程为
，右焦点坐标为
，

，即
，

直线
过椭圆的右焦点，直线
恒与椭圆有两个交点，

且
，

的最大值为12.………………………………10分

24． 解:（Ⅰ）
，-----------2分

函数
图象如图所示-------------------4分

（Ⅱ）由题设知：