命题人：赵国义 审核与校对：宋春雷、张相国

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合
，集合
，则
（
）

（A）

（B）
（C）
（D）

2．若复数z满足
（i是虚数单位），则z
＝ （ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

3．已知
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．某几何体的三视图如图1所示，图中的四边形都是边长为2的

正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积
是（　　）

（A）
（B）
（C）
（D）

5．已知命题
则
是（ ）.

（A）
（B）

（C）
（D）

6．等比数列
中，
，则数列
的前8项和等于( )

（A）6 （B）5 （C）4 （D）3

7．曲线
在点P处的切线的斜率为4，则P点的坐标为（　 ）

（A）
（B）
或
（C）
（D）
或

8．已知点
,
,
,
，则向量
在
方向上
的投影为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9．已知函数
，
，且此函数的图象如图所示，则点P
的坐标为（ ）

（A）（2，
） （B）（4，
）

（C）（2，
） （D）（4，
）

10．设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个
命题：

①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；

②若m
β，n是l在β内
的射影，m⊥l，则m⊥n；

③若m
α，m∥n，则n∥α；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中真命题为 （ ）

（A）①② （B）①②③ （C）①②③④ （D）③④

11．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l

的斜率的取
值范围是 （ ）

（A）[－
，
] （B）[－2，2] （C）[－4，4] （D）[－1，1]

12．函数
的图象大致是（ ）

宁城县高三年级摸底统一考试（2014.10.20）

数学试题（文科）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．中心在原点，焦点在
轴上的双曲线一条渐近线的方程是
，则
该双曲线的离心率是_______;

14．某校歌咏比赛，据统计，报名的学生和教师的人数之比为

5:1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛，已知教师甲被抽到的概率为0.1，则报名的学生人数是 ．

15．已知x, y满足条件
则
的最小值为

;

16．根据右边框图，对大于2的整数
，输出的数列的通项公式是_______________.

三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）

17．（本小题满分12分
）

在△ABC中，内角
所对的边分别为
，已知
.

(Ⅰ)求证：
成等比数列；

(Ⅱ)若
，求△
的面积S.

18．（本小题满分12分）

如图，三棱柱
中，侧棱垂直底面，
，
，
是棱
的中点.

（Ⅰ）证明：
⊥平面
；

（Ⅱ）设
,求三棱锥
的体积.

19．（本小题满分12分）

某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取
辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于
公里和
公里之间，将统计结果分成
组：
，
，
，
，
，绘制成如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中
的值；

（Ⅱ）求续驶里程在
的车辆数；

（Ⅲ）若从续驶里程在
的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为
的概率.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
的右焦点为
，
短轴的一个端点
到
的距离等于焦距.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设过点
的直线
和椭圆交于两点
，且
，求直线
的方程.

21．（本小题满分12分）

已知函数
.

(Ⅰ) 求
的最大值；

(Ⅱ) 当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，Δ
是内接于圆
，
,直线
切
于点

，弦
，
与
相交于点
．

（Ⅰ）求证：
≌

；

（Ⅱ）若
求
．

23．选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点
为极点，以
轴
非负半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线
参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）写出曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线
上的点到直线
的最大距离.

24．选修4
－5：不等式选讲

若
，且
，求证：.

宁城县高三年级摸底统一考试
（2014.10.20）

数学试题（文科）参考答案

即：

因
，即

所以
-------
------
----------3分

由正弦定理得：
，所以
成等比数列.-----------------5分

(Ⅱ)在
中,由余弦定理得

由

得
----------------8分

所以
,
,--------------10分

△
的面积
.--------------12分

18.解:由题意知
，
，

所以
-----------3分

又
，所以

由题设知
，

所以
，即
.---------8分

又
，所以
---------10分

（2）

，

．-----12分

19.解: （Ⅰ）由直方图可得：

∴
. ------------------3分

（Ⅱ）由题意可知，续驶里程在
的车辆数为：

------------------5分

（Ⅲ）由（Ⅱ）
及题意可知，续驶里程在
的车辆数为
，分别记为
，

续驶里程在
的车辆数为
，分别记为
，

设事件
“其中恰有一辆汽车的续驶里程为
”----------------------7分

从该
辆汽车中随机抽取
辆，所有的可能如下：

共
种情况，----------------10分

事件
包含的可能有
共
种情况，

则
. ------------------12分

（未列举事件，只写对概率结果给2分）

20.解:由已知得
，
------------------3分

，所以椭圆
的方程为
------------------4分

（Ⅱ）设直线
的方程是

由
消
并整理得
------------------6分

设
，
，则
①，
② ---------9分

因为
得
③

由①②③解得
，-----------------------------------------11分

因此存在直线
：
使得
--------------------12分

21. (Ⅰ)解：函数f (x)定义域为(0，+∞)，
，-----2分

当0 < x <1时，
，当x > 1时，
，∴f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，

函数f (x)在x = 1处取得唯一的极值,所以
---------4分

(Ⅱ)当x≥1时，不等式

化为：
，即
------------------------6分

令
，由题意，k≤g (x)在[1，+∞)恒成立

----------------------8分令
，则
，当且仅当x = 1时取等号所以
在[1，+∞)上单调递增，h (x)≥h(1) =
1 > 0

因此
， ----------------------------------10分

∴g (x)在[1，+∞)上单调递增，

因此，k≤2，即实数k的取值范围为(－∞，2] ------------------------12分

22. 选修4—1；几何证明选讲．

证明： （Ⅰ）∵MN是切线，且
∥

∴
，即

∴

∵

∴
≌
-----------------------5分

（Ⅱ）在
和
中，

∵
，
是公共角,∴
∽
------------------7分

∴
,即

∵
, ∴

∴

------------------------------10分

23. 选修4—4;坐标系与参数方程．

⑴由
得
，∴

……………2分

由
得

.………………5分

⑵在

上任取一点
，则点
到直线
的距离为
≤3
. ………………7分

∴当
－
1，即
时，

.………………10分

24. 选修4－5：不等式选讲

证:由
,则由基本不等式得:

所以
--------------------------------4分

因为
，所以