填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

⒈已知全集
={1,2,3,4},集合A={l,2,3},B={2,3,4},则
___________.

⒉函数
的定义域是_____________________.

⒊在曲线
的所有切线中,斜率最小的切线的方程为________.

⒋若双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等于
,则此双曲线方程为______.

⒌已知集合
,设函数
(
)的值域为,若
,则实数的取值范围是___.

⒏设奇函数f (x) 的定义域为R，最小正周期T=3，若f (1)≥1，f (2)=
，则a的取值范围是________.

⒐已知函数
(
),如果
(
),那么
的值是______.

⒑函数
,则函数
的所有零点所构成的集合为_____________.

11.已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值为_________．

12.对于任意
的值恒大于零,则x的取值范围是________.

13.已知椭圆
和圆
,若
上存在点,使得过点引圆
的两条切线,切点分别为
,满足
,则椭圆
的离心率的取值范围是 .

14.已知函数
,
,
,则
的最小值等于_________.

二、简答题：(本大题共6小题，共90分)

15.（本小题满分14分）

定义：在R上的函数f(x)满足：若任意x
,x
∈R，都有f(
)≤
，则称函数f(x)是R上的凹函数. 已知二次函数f(x)= x
+x(∈R,≠0) .

（1）求证：当＞0时，函数f(x)是凹函数；

（2）如果x∈［0,1］时，|f(x)|≤1，试求实数的范围.

17. （本小题满分14分）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数
与第x天近似地满足
（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费
近似地满足
（元）．

求该村的第x天的旅游收入
（单位千元，1≤x≤30，
）的函数关系；

若以最低日收入的20％作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5％的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？

2014年江阴市高三网络课堂教学检测（数学）答案

填空题

二、简答题

15.

解：（1）对任意x
＞0,

∴［f(x
)+ f (x
)］-2 f(
［ (
)］

=x
≥0.

∴f(
≤
［f
］.

∴函数f(x)是凹函数. …………………………………6分

（2）由| f(x)|≤1
-1≤f(x) ≤1
-1≤
+x≤1.(*)

当x=0时，∈R;

当x∈(0,1］时，(*)即

即
…………………………………10分

∵x∈(0,1］,∴
≥1.

∴当
=1时，-(
+
)
-
取得最大值是-2；当
=1时，(
-
)
-
取得最小值是0.

∴-2 ≤≤0 ,结合≠0，得-2≤＜0.

综上，的范围是［-2,0). ………………………………14分

17.

解：⑴依据题意，有p(x)=f (x)·g(x)=
（1≤x≤30，x∈N*）

=
………4分

(2)1°当
，
时，

(当且仅当
时，等号成立) ，

因此，p(x)min=p(11)=1152（千元）. ……………………………8分

2°当22

求导可得p′(x) <0，所以p(x)=
在（22,30]上单调递减，

于是p(x)min=p(30)=1116（千元）.

又1152＞1116，所以日最低收入为1116千元. ……………………………12分

该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元），

因803.52万元＞800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金. …………14分

（2）把
，代入
，得

． ……………………………………………8分

当△
，
时，
，
，

从而点
． ……………………………………………10分

所以直线OM的方程
．

由
得
． ……………………………………………12分

∵OP是OM，OQ的等比中项，∴
，

从而
． ……………………………………………14分

由
，得
，从而
，满足△
． ……………15分

∴
为常数
． ………………………………………………………………16分

20.

解：函数
的定义域为
．

（1）当
时，
，
，令
得
． ………1分

列表：

x











+

0







 ↗

极大值

 ↘



 所以
的极大值为
． …………………………………………3分

（3）
（
）．

由
得
．

∵
， ∴
(舍)，或
．

∵
，∴
． …………………………………12分

由
得，