2015届上学期高三一轮复习

第一次月考数学（理）试题【新课标Ⅰ】

一、选择题（每小题5分共60分；每题只有一个正确选项）

1、设
则
（ ）

A．
或
B．
C．
D．

2、已知
，且
则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

3、下列说法正确的是 （ ）

A. “
”是“
在
上为增函数”的充要条件

B. 命题“
使得
”的否定是：“
”

C. “
”是“
”的必要不充分条件

D. 命题p：“
”，则p是真命题

4、如右图，在
中，
，
，
是边
上的高，则
的值等于 （ ）

A．0 B．
C．4 D．

5、设
是等差数列{an}的前n项和，
，则
的值为(　 　)

A.
B.
C.
D.

6、已知数列
为等比数列，且.

,则
=（　　）

．
.

．
．

7、已知函数
（其中
）的部分图象如右图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象（ ）

A.向右平移
个长度单位 B.向右平移
个长度单位

C.向左平移
个长度单位 D.向左平移
个长度单位

8、如果
是二次函数, 且
的图象开口向上,顶点坐标为（1,
）, 那么曲线
上任一点的切线的倾斜角的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知a > 0，b > 0，a、b的等差中项是
，且
，则x + y的最小值是( )

A．6 B．5 C．4 D．3

10、 已知函数
；则
的图像大致为（ ）

11、已知函数
的图象与直线
交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为
，则
＋
＋…＋
的值为（　 ）

A．－1 B． 1－log20132012 C．-log20132012 　　D．1

12、定义域为的偶函数
满足对
，有
，且当
时，
，若函数
在
上至少有三个零点，则的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（将你所做答案写在答题卡 相应的位置上每题5分，共20分）

13、由曲线
与直线
所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .

14．变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值是 .

15、在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足

，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为 .

16．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如果函数
的图象恰好通过（
）个整点，则称
为阶整点函数．给出下列函数：

①
；②
；③
；④
；⑤
.

其中是1阶整点函数的序号有______________.（写出所有满足条件的函数的序号）

三、解答题（6小题共70分，将过程写在答题卡相应的位置上，要有必要的推演步骤）

17、（本小题满分10分）命题p:实数满足
（其中a>0），

命题q:实数满足

(1)若a=1，且
为真，求实数的取值范围；

(2)若
是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

18、（本题12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量 q=（
，1），向量p=（
，
）且
．

求：（1）求sin A的值； （2）求三角函数式
的取值范围．

19、（本题12分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式；

(3)令cn＝(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.

20．（本题12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为每平方米
，水池所有墙的厚度忽略不计.

(1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

(2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，

试设计污水池的长和宽，使总造价最低.

21.（本小题满分12分）如图，已知点
，函数
的图象上的动点在轴上的射影为
，且点
在点的左侧.设
，
的面积为
.

（I）求函数
的解析式及的取值范围；

（II）求函数
的最大值.

22. （本小题满分12分） 已知函数
，

（1）设函数
，求函数
的单调区间；

（2）若在区间
（
）上存在一点
，使得

成立，求的取值范围.

参考答案

一、选择题（每小题5分共60分；每题只有一个正确选项，将你所选选项答在答题卡相应位置上）

1、 D 2、 C 3、A 4、 B 5、D 6、C 7、A 8、B 9． B10、B11、A12、B

二、填空题（将你所做答案写在答题卡 相应的位置上每题5分，共20分）

13、
14、3 15、1:3 16．①②④.

三、解答题（6小题共70分，将过程写在答题卡相应的位置上，要有必要的推演步骤）

17、【答案】解：（1）p真：1

q真：2

为真时2

（2）由（1）知p：
，则
：
或
，

q：
，则
：
或
，……10分

是
的充分不必要条件，则
，且
，

∴
解得
，故实数a的取值范围是
．

18、（本题12分）

18、解：（I）∵
，∴
，根据正弦定理，得
，

又
，

，
，
，又

；sinA=

（II）原式
，

，

∵
，∴
，∴
，

∴
，∴
的值域是
．

19、（本题12分）[解析]　（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式

∴数列{an}的通项公式为an＝2n.

(2)an＝＋＋＋…＋(n≥1)①

∴an＋1＝＋＋＋…＋＋②

②－①得，＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)，

故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．

(3)cn＝＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，

∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)

令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①

则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②

①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝
－n×3n＋1

∴Hn＝
。

∴数列{cn}的前n项和Tn＝
＋
.

20．（本题12分）

【答案】（1）设污水处理池的宽为米，则长为
米.

则总造价f(x)=400×（
）+248×2x+80×162

=1 296x+
+12 960=1 296（
）+12 960≥1 296×2
+12 960=38 880（元），

当且仅当x=
(x＞0),即x=10时取等号.

∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.

(2）由限制条件知
,∴

设g(x)=
（

）.

g（x）在
上是增函数，

∴当x=10
时(此时
=16), g(x)有最小值，即f(x)有最小值.

∴当长为16米，宽为10
米时，总造价最低.

21.（本小题满分12分）

解：（I）由已知可得
，所以点的横坐标为
,

因为点
在点的左侧，所以
，即
.

由已知
，所以
，

所以

所以
的面积为
.--

（II）

由
，得
（舍）,或
.

函数
与
在定义域上的情况如下：



2







+

0







↗

极大值

↘





所以当
时，函数
取得最大值8.

22 (12分)

在
上存在一点
，使得
，即

函数
在
上的最小值小于零. …由（Ⅱ）可知

①即
，即
时，
在
上单调递减，

所以
的最小值为
，由
可得
，

因为
，所以
；

②当
，即
时，
在
上单调递增，

所以
最小值为
，由
可得
；③当
，即
时， 可得
最小值为
，

因为
，所以，

故

此时，
不成立.

综上讨论可得所求的范围是：
或
.