2015届上学期高三一轮复习

第一次月考数学文试题【新课标II-4】

考试时间 120分钟 满分150分

第I卷（共60分）

一、选择题（共15题，每题4分）

1．已知复数
，则它的共轭复数等于( )

A．
B．
C．
D．

2.已知函数
，若
，则实数a等于

A、
　　 B、
　　 C、2　　 D、4

3.在平面直角坐标系中，A
，B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，

则
的最大值是

A、4　　B、3　　C、2　　D、1

4．下列命题中的真命题是 (　　)．

A. x∈R，使得sin x＋cos x＝ B. x∈(0，＋∞)，

C. x∈(－∞，0)，
D. x∈(0，π)，sin x>cos x

5. 已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知
，则
（ ）

A.7 B.-7 C.
D.

7．已知锐角
的终边上一点P(1＋cos 40°， sin 40°)，则锐角
＝ (　　)．

A．80° B．70° C．20° D．10°

8．已知函数
有极大值和极小值，则实数a的取值范围 (　　)

A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

9．函数
，
，
的零点分别是a，b，c则

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c

10．下列命题正确的是 ( )

A．函数
在
内单调递增

B．函数
的最小正周期为2π

C．函数
图象关于点
对称

D．函数
图象关于直线
对称

11.集合
,
,
,
，则集合S的个数为

A、0　 　 B、2　　 C、4 　　 D、8

12.函数
=

,则函数y＝
－1＋
与x轴的交点个数是

A、1　 　B、2　 　C、3　 　D、4

13. 定义在上的函数
在区间
上是增函数，且
的图象关于
对称，则

A.
B.
C.
D.

14．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（弧度）( )

A． 1 B． 4 C． D． 1或4

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线 (sin A－sin B)＋sin B＝sin C上．则角C的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（共5题，每题4分）

16．函数
的单调增区间为______．

17.如图是函数
?的图象，则其解析式是___.

18．若函数f(x)＝x＋asin x在R上递增，则实数a的 取值范围为______．

19. 给定两个长度为1的平面向量
和
，它们的夹角为
，点
在以
为圆心的劣弧
上运动，若
=

，其中
，则
的取值范围是___________________.

20. 若数列
的通项公式
，记
，试推测
_________

三、解答题:(共70分.解答必须写出必要的文字说明或解答过程)

21．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
＝，
＝，且满足|
＋
|＝.

(1)求角A的大小；

(2)若||＋||＝||，试判断△ABC的形状．

22．（本小题满分12分）

已知函数
在x＝2处取得极值为c－16.

(1)求a，b的值；

(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．

23..设集合A为函数
的定义域，集合B为函数
的值域，集合
为不等式
的解集． (1)求
； (2)若
，求
的取值范围．

24.（本小题满分12分）

已知函数

的图象过点

（I）求函数
的单调递增区间；

(II)将函数f（x）图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移
个单位，得函数g（x）的图象，若a、b、c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a＋c＝4，且当x＝B时，g（x）取得最大值，求b的取值范围。

25．(本小题满分12分)

已知函数
(a＞0)的单调递减区间是(1，2)且满足f(0)＝1，(1)求f(x)的解析式；

(2)对任意m∈(0，2]，关于的不等式
－
在∈[2，＋∞)上有解，求实数t的取值范围。

请考生在第26、27、28题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分

26. 【选修4-1：平面几何】

如图所示，PA为0的切线,A为切点，PBC是过点O的割线，PA =10,PB =5、

(I)求证：
;

（Ⅱ）求AC的值.

27.【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
,已知过点
的直线
的参数方程为：

（t为参数）直线
与曲线
分别交于
两点.

（1）写出曲线
和直线
的普通方程；

（2）若
成等比数列, 求的值．

28【选修4-5：不等式选讲】

已知函数

（1）求不等式
的解集；

（2）若关于的不等式
的解集非空，求实数的取值范围.

参考答案

A卷1-5.BCBBA 5-10.DCBAC 11-15. CCCDB

16. (－∞，1)
18.[-1,1] 19.
20.

21．解　(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，

即1＋1＋2＝3，

∴cos A＝.∵0

(2)∵||＋||＝||，∴sin B＋sin C＝sin A，

∴sin B＋sin＝×， 即sin B＋cos B＝，∴sin＝.

∵0

当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.

故△ABC是直角三角形 . …………..12分

22．解　(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，

由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，

故有即

化简得解得 …………..6分

(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.

令f′(x)＝0，得x＝－2或2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；

当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．

由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.

由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12，

此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. . …………..12分

23.解(1)由于
，解得
，又

所以
。所以
…………..6分

（2）因为

由
，知

当
时，由
，得
，不满足

当
时，由
，得
，………10分

欲使
则
，

解得：
或
，又
，

所以
，

综上所述，所求的取值范围是
………12分

24．解：（Ⅰ）

． …………2分

因为点
在函数
的图像上，所以
，解得
． ∴
． …………4分

由
，
，得
，

∴函数
的单调增区间为
． …………6分

（Ⅱ）

．

∵当
时，
取得最大值，

∴
，∴
． …………8分

由余弦定理可知

．

∴
，又
．

∴
的取值范围是
． …………12分

注：此题的8分以后可以用二次函数，如下：由
则
（
）

则
（
） 则
则

25．(本题满分12分)

解：(1)由已知，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋a2的单调递减区是(1，2)，∴f′(x)＜0的解是1＜x＜2．

所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两个根分别是1和2，且a＞0，

由f(0)＝a2＝1，且a＞0，可得a＝1． ………2分

又
得
………4分

(2)由(1)，得f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)

∵当x＞2时，f′(x)＞0，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增，

x∈[2，＋∞)时，f(x)min＝f(2)＝3 ………6分

要使
在x∈[2，＋∞)上有解，需

对任意m∈(0，2]恒成立，即
对任意m∈(0，2]恒成立。 ………9分

设
，m∈(0，2]，则t＜h(m)min

，

令h′(m)＝0得m＝1或m＝－1

由m∈(0，2]，列表如下：

m

(0，1)

1

(1，2)

2



h′(m)

－

0

＋





h(m)

↘

极小值

↗





∴当m＝1时，h(m)min＝h(m)极小值
……………12分

26．（10分）

解：（Ⅰ）∵
为⊙
的切线，∴
，

又

∴
∽
．∴
．…………………4分

（Ⅱ）∵
为⊙
的切线，
是过点
的割线，∴
．

又∵
,
，∴
，
…7分

由（Ⅰ）知，
，∵
是⊙
的直径，

∴
．∴
,

∴AC=
……………10分

27.解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ=2acosθ，

即ρ2sin2θ=2aρcosθ，即 y2=2ax， ............（2分）

直线L的参数方程为：
，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2

即y=x﹣2 ...................（5分）

（Ⅱ）直线l的参数方程为
（t为参数），

代入y2=2ax得到
，

则有
...........（8分）

因为|MN|2=|PM|?|PN|，所以

即：[2
（4+a）]2﹣4×8（4+a）=8（4+a）

解得 a=1 ................…（10分）

28．解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，

∴①
，或②
，或③
．

解①得﹣1≤x＜﹣
，解②得﹣
≤x≤
，解③得
＜x≤2．

故由不等式可得
，

即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}． （5分）

（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，

∴|a﹣1|4，解此不等式得a﹣3或a5．

故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3