2015届上学期高三一轮复习

第一次月考数学（理）试题【新课标II-2】

考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.

4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数满足
（其中是虚数单位），则的实部为（ ）

（A）6 （B）1 （C）
（D）

2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ）

（A）8，8　　 （B）9，7 （C）10，6　　（D）12，4

3．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：

①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．

其中正确的是（ ）

（A）①② （B）②③

（C）③④ （D）①④

4．函数
的零点所在区间是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

5．执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（ ）

（A）4 （B）8 （C）10 （D）12

6．“＝10”是 “
”的展开式中有常数项的（ ）

（A）充分不必要条件　 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件　 （D）既不充分也不必要条件

7．双曲线
的渐近线与圆
相切，则双曲线的离心率为（ ）

（A）
（B）
（C） （D）

8．已知函数①
，②
，则下列结论正确的是（ ）

（A）两个函数的图象均关于点
成中心对称

（B）两个函数的图象均关于直线
成轴对称

（C）两个函数在区间
上都是单调递增函数

（D）两个函数的最小正周期相同

9．设
表示两条直线，
表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ）

10．已知等比数列
的前10项的积为32，则以下说法中正确的个数是（ ）

①数列
的各项均为正数； ②数列
中必有小于
的项；

③数列
的公比必是正数； ④数列
中的首项和公比中必有一个大于1．

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

11．已知函数
，
(
)，若对
，
，使得
，则实数,
的取值范围是（ ）

（A）
,
（B）
,

（C）
,
（D）
,

12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为
，两条曲线在第一象限的交点记为P，
是以
为底边的等腰三角形．若
，椭圆与双曲线的离心率分别为
，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设为正整数，
，经计算得
，
，观察上述结果，对任意正整数，可推测出一般结论是____________

14．设
是单位向量，且
，则向量
的夹角等于____________

15．已知抛物线
的准线为
，过点
且斜率为
的直线与
相交于点，与
的一个交点为，若
，则等于____________

16．正三角形
的边长为2，将它沿高
翻折，使点与点
间的距离为1，此时四面体
外接球表面积为____________

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

函数
的一段图象如图所示．

（1）求函数
的解析式；

（2）求函数
的单调减区间，并求出
的最大值及取到最大值时的集合；

（19）（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥
中，四边形
为菱形，
为等边三角形，平面
平面
，且
，为
的中点．

（1）求证：
；

（2）在棱
上是否存在点，使
与平面
成角正弦值为
，若存在，确定线段
的长度，不存在，请说明理由．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为，过点
的直线与椭圆
相交于两点

（1）求椭圆
的方程；

（2）设为椭圆上一点，且满足
（
为坐标原点），当
时，求实数的取值范围．

请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的直径，弦
的延长线相交于点，
垂直
的延长线于点．

求证：（1）
；

（2）
四点共圆．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（为参数），直线
与曲线

交于
两点

（1）求
的长；

（2）在以
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为
，求点到线段
中点
的距离．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）当函数
的值域为时，求实数的取值范围．

参考答案

一、选择题

1A 2B 3D 4C 5 B 6A 7C 8C 9D 10A 11D 12C

二、填空题13、
14、
15、2 16、

三、解答题

17．（本小题满分12分）

解（1）由图知
，

∴
，∴
，∴
…… 2分

∵
的图象过点
，∴
，

∴
，∴
，

∵
，∴
，∴
…… 6分

（2）由

解得函数
的单调减区间为
，…… 9分

函数
的最大值为3，取到最大值时x的集合为
.…… 12分

18（本小题满分12分）

解：（1）设得分为60分为事件 …… 1分

得分为60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为
，有1道题答对的概率为
，还有1道答对的概率为
， …… 4分

所以得分为60分的概率为
…… 5分

（2）依题意，该考生得分
的取值范围为｛45，50，55，60｝ …… 6分

解（1）证明：连接
，
，因为平面
平面
，
为等边三角形，为
的中点，所以
平面
，
…… 2分

因为四边形
为菱形，且
，为
的中点，所以
…… 4分

，所以
面
，所以
…… 6分

（2）以为原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系…… 7分

因为点在棱
上，设
，面
法向量

，

所以
， …… 9分

，解得
， …… 11分

所以存在点，
…… 12分

20（本小题满分12分）

解（1） 由已知
，所以
，所以

所以
…… 1分

又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为

所以
…… 3分

所以
…… 4分

（2）设

设
与椭圆联立得

整理得

得

…… 6分

由点在椭圆上得

…… 8分

又由
, 所以

21（本小题满分12分）

解：（1）
…… 2分

，
，增区间为（0,1）和（1，+） …… 4分

（2）
切线方程为
① ……6分

设
切于点

，

方程
，② …… 8分

由①②可得
，

由（1）知，
在区间
上单调递增，

又
，
，

由零点存在性定理，知方程
必在区间
上有唯一的根，这个根就是
，故在区间
上存在唯一的
，使得直线
与曲线
相切 …… 12分

22（本小题满分10分）

证明：（1）

，

…… 5分

（2）
是⊙
的直径，所以
，
，
，
，
四点与点等距，
四点共圆 …… 10分

23（本小题满分10分）

解（1）直线
的参数方程化为标准型
（为参数） …… 2分

代入曲线
方程得

设
对应的参数分别为
，则
，
，

所以
……5分

（2）由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标
， …… 6分

所以点在直线
， …… 7分

中点
对应参数为
，

由参数几何意义，所以点到线段
中点
的距离
……1 0分