扬大暑假夏令营高三数学试卷

一、填空题：（每小题5分，共14题，总分70分）

1．
的单调减区间为

2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是

3．若方程
的解为
，则大于
的最小整数是

4．设A、B是非空集合，定义
．

已知
，
，则

5．将函数
的图象上的所有点向右平移
个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为

6．下列说法中，正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）．

①若f(（x0）＝0，则f（x0）为f（x）的极值点；

②在闭区间[a，b]上，极大值中最大的就是最大值；

③若f（x）的极大值为f（x1），f（x）的极小值为f（x2），则f（x1）＞f（x2）；

④有的函数有可能有两个最小值；

⑤已知函数
,对于
定义域内的任意一个
都存在唯一个
成立．

7．设向量a，b的夹角为θ，a=（2，1），a+3b=（5，4），则sinθ=

8．若一次函数
满足
，则
的值域为

9．设函数
在
处取极值，则
=

10．在
中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
。

若
，则

11．函数y=sinx与y=cosx在
内的交点为P，在点P处两函数的切线与x轴所围成的三角形的面积为

12．已知
是边长为4的正三角形，D、P是
内部两点，且满足
，则
的面积为

13．设
是定义在R上的奇函数，且当
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数t的取值范围是

14．已知函数
对任意的
，恒有

.若对满足题设条件的任意b，c，不等式
恒成立，则M的最小值为

二、解答题：（共6小题，总分90分）

15．（本题14分）已知
且
,

,且
为偶函数.

（1）求; (2) 求满足
，
的x的集合．

16．（本题14分）已知命题
指数函数
在上单调递减，命题
关于的方程

的两个实根均大于3.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.

17．（本题14分）在
中，内角
所对的边分别为
.已知
，

（1）求角
的大小；

（2）若
，求
的面积.

18．（本题16分）一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁
和外壁
都是半径为1m的四分之一圆弧，
分别与圆弧
相切于
两点，
且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.

（1）若水平放置的木棒
的两个端点
分别在外壁
和
上，且木棒与内壁圆弧相切于点
设
试用
表示木棒
的长度

（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值。

19．（本题16分）设函数
，曲线
在点（1，
处的切线为
. (Ⅰ)求
； （Ⅱ）证明：
.

20．（本题16分）设
使定义在区间
上的函数，其导函数为
.如果存在实数和函数
，其中
对任意的
都有
>0，使得
，则称函数
具有性质
.

(1)设函数

，其中
为实数

①求证：函数
具有性质
，②求函数
的单调区间。

(2)已知函数
具有性质
，给定

，
，且
，若|
|<|
|，求的取值范围。

数学答题纸

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14.

二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.

16.

17.

18.

19.20题解答请写在试卷反面

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21.（本题满分10分）两条曲线的极坐标方程分别为
,它们相交于A,B两点，求线段AB的长。

22. （本题满分10分）已知曲线
：
，直线
：
（为参数）.

(1)写出曲线
的参数方程，直线
的普通方程；

(2)过曲线
上任一点作与
夹角为
的直线，交
于点，求
的最大值与最小值.

23. （本题满分10分）抛掷A,B,C三枚质地不均匀的纪念币，它们正面向上的概率如下表所示
；

纪念币

A

B

C



概率



a

a



将这三枚纪念币同时抛掷一次，设
表示出现正面向上的纪念币的个数。

（1）求
的分布列及数学期望；

（2）在概率
中，若
的值最大，求a的最大值。

24. （本题满分10分）如图，在长方体
中，
是棱
的中点，点在棱
上，且
（
为实数）。（1）当
时，求直线
与平面
所成角的正弦值的大小；

（2）试问：直线
与直线
能否垂直？请说明理由。

数学答案：

1．
2．
3．5 4．

5．
6．⑤ 7．
8．
9．2 10．

11．
12．
13．
14．

15.解：（1）
；（2）
．

16.解:

17.（1）由题意得，
，

即
，

，由
得，
，又
，得
，即
，所以
；

（2）由
，
，
得
，

由
，得
，从而
，故
，

所以
的面积为
．

18.⑴如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD的垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于S，并连结PQ，再过点N作TQ的垂线，垂足为W，在Rt△NWS中，因为NW=2，∠SNW=θ，所以NS=
，

因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN，在Rt△QPS中，因为PQ=1，∠PQS=θ，所以QS=
，

所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为
．

19.

20. （1）①