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青海省西宁五中片区大联考（四校联考）2014年高三下学期5月高考模拟试卷数学理科

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．集合
，
，则

A.
B.
C.
D.

2．已知定义在复数集C上的函数
满足
，则
等于

A．
B．0 　　 C．2 D．

3．将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有

A．
种 B．
种 C．
种 D．
种

4．设为实数，函数
的导函数为
，且
是偶函数， 则曲线：
在点
处的切线方程为

A.
B.
C.
D.

5．在平面直角坐标系中，已知向量
若
，则x=

A．-2 B．-4 C．-3 D．-1

6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

7.已知双曲线C ：
-
=1的焦距为10 ，点P（2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为

A．
-
=1 B.
-
=1 C.
-
=1 D.
-
=18．如图，长方形的四个顶点为
，曲线
经过点，现将一质点

随机投入长方形
中，则质点落在图中阴影区域的概率是

A．
B．

C．
D．

9．已知幂函数
的图像过点
，令
，
，记数列
的前项和为
，则
=10时，的值是

A. 110 B. 120 C. 130 D. 140

10．将函数f（x）＝3sin（4x＋
）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
个单位长度，得到函数
的图象．则
图象的一条对称轴是

A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝

11.设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为12，

则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

12．已知函数
定义在R上的奇函数，当
时，
，给出下列命题：

①当
时，
②函数
有2个零点

③
的解集为
④
，都有

其中正确命题个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．在
的二项展开式中，的系数为

14．设
是椭圆
的左、右焦点，为直线
上一点，
是

底角为
的等腰三角形，则的离心率为

15．已知正四棱锥的各棱棱长都为
，则正四棱锥的外接球的表面积为

16.下列4个命题：

①
；

②已知随机变量X服从正态分布N（3，
），P（X≤6）=0．72，则P（X≤0）=0．28;

③函数
为奇函数的充要条件是
；

④已知
则
方向上的投影为
，

其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17、（本题满分12分）

已知向量
，
，
，其中、、
为
的内角.

(1)求角
的大小；

(2)若
，
，
成等差数列，且
，求
的长.

18.（本小题满分12分）

为迎接2016年奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：

（1）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个得分与其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；

（2）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值
的分布列与期望.

19．（本小题满分12分）

如图5所示,在四棱锥
中,底面
为矩形,
平面
,点在线段
上,

平面
.

(1)证明:
平面
;

(2)若
,
,求二面角
的正切值.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
（
）的焦距为
，离心率为
.

（1）求椭圆方程；

（2）设过椭圆顶点
，斜率为
的直线交椭圆于另一点，交轴于点，

且
成等比数列，求
的值.

21.（本小题共12分）

已知函数
，

（1）若
，求函数
的极值；

（2）设函数
，求函数
的单调区间；

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线
经过⊙
上的点
，并且
⊙
交直线
于，，连接
．

（1）求证：直线
是⊙
的切线；

（2）若
⊙
的半径为3，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为

ρ＝2sin θ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.

24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲

已知函数

(1)解不等式
；

(2)若
，且
，求证：
.

2014四校联考数学（理）答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

A

A

D

C

A

C

B

C

B

B



填空题：

13．-40 14．
15．
16．②④

三、解答题：

17．解：(Ⅰ)
………………………(2分)

对于
，

………………………(4分)

又
，
………………………(6分)

(Ⅱ)由
，

由正弦定理得
………………………(8分)

，

即
……………………(10分)

由余弦弦定理
，

，
……………(12分)

18.（本小题满分12分）

解:（1）有茎叶图可知，甲运动员七轮比赛的得分情况为：78，81，84，85，84，85，91．

所以甲每轮比赛的平均得分为

显然甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共有5个，分别为81，84，85，84，85，

其中81分与平均得分的绝对值大于2，所求概率
。………6分

（2）设甲、乙两名运动员的得分分别为
，则得分之差的绝对值为
。

显然，由茎叶图可知，
的可能取值为0，1，2，3，5，6．

当
=0时，
，故

当
=1时，
或
，故

当
=2时，
或
，故

当
=3时，
或
，故

当
=5时，
，故

当
=6时，
，故
所以
的分布列为：

0

1

2

3

5

6




















………12分

19. 解:

(1)因为
平面
,
平面
,所以
.又因为
平面
,
平面
,所以
.而
,
平面
,
平面
,所以
平面
. ---------5分

(2)由(1)可知
平面
,而
平面
,所以
,而
为矩形,

所以
为正方形,于是
.

以点为原点,
、
、
为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系
.则

、
、
、
,于是
,
.

设平面
的一个法向量为

,则
,从而
,

令
,得
.而平面
的一个法向量为

.

所以二面角
的余弦值为
,

于是二面角
的正切值为3. ----------12分

20、（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知
，
. ……………2分

解得
， ……………4分

所以
，

椭圆的方程为
. ……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得过点的直线为
，

由
得
， ……………6分

所以
，所以
， ……………7分

依题意
，
.

因为
成等比数列，所以
，

所以
，即
， ……………9分

当
时，
，无解， ……………10分

当
时，
，解得
， ……………11分

所以
，解得
，

所以，当
成等比数列时，
. ……………12分

２１. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
的定义域为
，

当
时，
，
，



1







—

0

+







极小







所以
在
处取得极小值1.

（Ⅱ）
，

①当
时，即
时，在
上
，在
上
，

所以
在
上单调递减，在
上单调递增；

②当
，即
时，在
上
，

所以，函数
在
上单调递增.

22证明：（Ⅰ）如图，连接OC,OA =OB,CA=CB,

是圆的半径，
是圆的切线． （3分）

（Ⅱ）
是直径，

又

2
（5分）

∽
（7分）

设
，则
，



…（9分）

（10）分

23. （本小题满分10分）

解：(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，

即x2＋(y－)2＝5. -----------5分

(2)法一：将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，

得(3－t)2＋(t)2＝5，

即t2－3t＋4＝0.

由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，

所以

又直线l过点P(3，)，

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.-----------10分

(2)法二：因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝，

直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋.

由得x2－3x＋2＝0.

解得：或 

不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)，

又点P的坐标为(3，)，

故|PA|＋|PB|＝＋＝3. -----------10分

24.（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝

当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；

当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；

当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3．

所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}． …………5分

（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|． …………6分

因为|a|＜1，|b|＜1，

所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，

所以|ab－1|＞|a－b|．

故所证不等式成立． ……………10分