高台县第一中学2015届高三8月质量检测数学试题

一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1、若集合
，则
( )

A .R B.
C.
D.

2、已知复数
，则复数在复平面内对应的点位于 （ ）

.第一像限 .第二像限
.第三像限 .第四像限

3、理：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为
（ ）

A.
B.
C.
D.

文：四名同学根据各自的样本数据研究变量
之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

① y与x负相关且
； ② y与x负相关且
；

③ y与x正相关且
； ④y与x正相关且
.

其中一定不正确的结论的序号是 ( )

A．①② B．②③ C．③④ D． ①④

4、已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为１的正方形，则这个几何体的体积不可能是（　　）

A.
B.
C.1 D.

5、阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填人的条件是 ( )

A. S<10? B. S<12? C. S<14? D. S<16?

6、如图设抛物线
的顶点为A，与x 轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P， 则点P落在AOB内的概率是 ( )

A.
B.
C.
D.

7、设实数x、y满足
，则
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

8、若△ABC的三个内角A,B,C度数成等差数列,且(
+
)·
=0,则△ABC一定是(　　)

A.等腰直角三角形 B.非等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形

9、直线
的倾斜角的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

10、知
定义域为(0，+)，
为
的导函数，且满足
，则不等式
的解集是( )

A.(0，1) B.(1，+) C.(1，2) D.(2，+)

11、理：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图所示，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种同一种颜色的花，则不同的栽种方法种数为 ( )

A.120 B.360 C.480 D.540

文：把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有(　　)

A. 36种 B. 45种 C. 54种 D. 96种

12、抛物线
的焦点为F，准线为
，A、B为抛物线上的两个动点，且满足
，设线段AB的中点M在
上的投影为N，则
的最大值为 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第13题-第21题为必考题，每个考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13、理：若等比数列
的第
项是二项式
展开式的常数项，则

文：为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．

14、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________

15、已知椭圆
的离心率为
，过右焦点且斜率为
的直线与
相交于
两点．若
，则

16、若不等式
对任意自然数n恒成立，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题；共70分．

17、（本小题满分12分）

已知数列
与
，若
且对任意正整数满足
数列
的前项和
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）求数列
的前项和

18．（本小题满分12分）

理：
年
月“神舟 ”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为
、
、
、
，并且各个环节的直播收看互不影响．

（Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这
名同学至少有名同学收看发射直播的概率;

（Ⅱ）若用表示该班某一位同学收看的环节数,求的分布列与期望．

文：年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，

他们的健康状况如下表：

健康指数

2

1

0

-1



60岁至79岁的人数

120

133

34

13



80岁及以上的人数

9

18

14

9



其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”。

（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？

（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率.

19 、（本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面为正方形，侧面
底面
．
为等腰直角三角形，且
．，分别为底边
和侧棱
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

20、（本小题满分12分）

已知椭圆
：
（
）的焦距为，且过点（，
），右焦点为
．设，是
上的两个动点，线段
的中点
的横坐标为
，线段
的中垂线交椭圆
于，
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围．

21、（本小题满分12分）

已知函数
，(
)．

（1）若曲线
在点
处的切线平行于轴，求
的值；

（2）当
时，若对
，
恒成立，求实数的取值范围；

（3）设
，在（1）的条件下，证明当
时，对任意两个不相等的正数
，有
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点 E.

(1).求证:E为AB的中点;

(2).求线段FB的长.

23、(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程
为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线
的极坐标方程是
，射线
与圆C的交点为O、P，与直线
的交点为Q，求线段PQ的长．

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.（1）当
时，解不等式
；（2）当
时，
恒成立，求的取值范围.



解析：∵(
+
)·
=0,∴(
+
)·(
-
)=0,∴
-
=0,即|
|=|
|,又A、B、C

12、答案A

解析：

13、理：答案

解析：
的展开式中常数项为
，故

文：答案10　

解析： 由已知可设5个班级参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，又S2＝4，x＝7，

所以＝4，

所以(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，

即五个完全平方数之和为20，要使其中一个达到最大，这五个数必须是关于0对称分布的，而9＋1＋0＋1＋9＝20，也就是(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，所以五个班级参加的人数分别为4，6，7，8，10，最大数字为10.

所以
是公差为2的等差数列 又因为
所以
（2分）

当
时，
； （3分）

当
时，
（4分）

对
不成立。

所以，数列
的通项公式:
(5分)

即的分布列



























 …………………………………………………………………10分

19、解析：

（Ⅰ）证明：取
的中点，连接
，
.

因为，分别是
，
的中点，

所以
是△
的中位线.

所以
∥
，且
．

又因为是
的中点，且底面
为正方形，

所以
，且
∥
.

所以
∥
，且
．

所以四边形
是平行四边形． 所以
∥
． 又
平面
，
平面
，

所以
平面
． ……………4分

（Ⅱ）证明： 因为平面
平面
，
，且平面
平面
，

所以
平面
．所以
，
．又因为
为正方形，所以
，

设平面
的法向量为
，则
所以
即

令
，则
．

由（Ⅱ）可知平面
的法向量是
，所以
.

由图可知，二面角
的大小为锐角，所以二面角
的余弦值为
． ……………12分

20、解：（Ⅰ） 因为焦距为，所以
．因为椭圆
过点（，
），

所以
．故
，
… 2分

． …………………8分

于是

．…… 10分

由于
在椭圆的内部，故

令
，
，则
．

又
，所以
．

综上，
的取值范围为
． …………………… 12分

--------------------------------------6分

----------------------------------------------7分

由
得

-------①---8分

又

∴
---------------------------------------------------②---------------9分

∵
∴

∵
∴
------------------------------③---------------10分

由①、②、③得

即
．--------------------------------------------------------------12分

证法二：由

、

24解：（1）
……………………2分

……………………5分

（2）
恒成立

即
……………………10分