选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.命题“
”的否定是（ ）

B.

C.
D.

2．设集合
，
，则
（ ）

A．
B.
C.
D.

3．在极坐标系中，过点
且与极轴平行的直线方程是（ ）

A．
B.
C.
D.

4.已知实数
满足
，则下列关系式恒成立的是（ ）

A．
B.
C.
D.

5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6. 对于函数
，若存在常数
,使得取定义域内的每一个值，都有
，则称
为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( )

A．
B.
C.
D.

7.执行右图程序框图，如果输入的，均为2，则输出的S= （ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8.设
满足约束条件
，则
的最大值为（ ）

A.10 B.8 C.3 D.2

9． 如图，设为正四面体
表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）

A．4个 B.6个 C. 10个 D.14个

10.设函数
.若存在
的极值点
满足
，则m的取值范围是（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.设向量
满足
,
,则

12.设△
的内角
的对边分别为
，且
，

则

13. 已知抛物线
到其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数=

14.随机地向半圆
（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与轴的夹角小于
的概率为 .

15、设函数
在其定义域D上的导函数为
，如果存在实数a和函数
，其中
对任意的
，都有
，使得
则称函数
具有性质
，给出下列四个函数：

①
； ②
；

③
； ④

其中具有性质
的函数

三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分）

16. 已知函数
．

（Ⅰ）求函数f?(x)的定义域及最大值；

（Ⅱ）求使
≥0成立的x的取值集合．

17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

18.在四棱锥
中，
平面
，
,
.

19.已知等差数列
为递增数列，且
是方程
的两根，数列
的前n项和

（1）求数列
的通项公式； （2）若
，求数列
的前n项和

20．巳知椭圆
的长轴长为
，且与椭圆

有相同的离心率.

(I )求椭圆
的方程；

(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与
有两个交点、，且
？若存在，写出该圆的方程，并求
的取值范围，若不存在，说明理由.

21. 已知函数
是奇函数，
的定义域为
．当
时，

．这里，e为自然对数的底数．

(1)若函数
在区间
上存在极值点，求实数的取值范围；

(2)如果当x≥1时，不等式
恒成立，求实数的取值范围；

(3)试判断
与
的大小关系，这里
,并加以证明．

成都七中2015届零诊模拟考试数学试卷(理科)

考试时间：120分钟

命题:张祥艳 审题：廖学军

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.命题“
”的否定是（ C ）

B.
C.
D.

2．设集合
，
，则
（ B ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．在极坐标系中，过点
且与极轴平行的直线方程是（ D ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4.已知实数
满足
，则下列关系式恒成立的是（ A ）

(A)
(B)

(C)
(D)

5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（D ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6. 对于函数
，若存在常数
,使得取定义域内的每一个值，都有
，则称
为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( A )

(A)
(B)

(C)
(D)

7.执行右图程序框图，如果输入的，均为2，则输出的S= （ D ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8.设
满足约束条件
，则
的最大值为（ B ）

A.10 B.8 C.3 D.2

9． 如图，设为正四面体
表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ C ）

（A）4个 （B）6个 （C）10个 （D）14个

10.设函数
.若存在
的极值点
满足
，则m的取值范围是（ B ）

A.
B.

C.
D.

13. 已知抛物线
到其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数=

14.随机地向半圆
（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与轴的夹角小于
的概率为 .

15、设函数
在其定义域D上的导函数为
，如果存在实数a和函数
，其中
对任意的
，都有
，使得
则称函数
具有性质
，给出下列四个函数：①
； ②
；

③
； ④

其中具有性质
的函数 ①② ③

三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分）

16. 已知函数
．

（Ⅰ）求函数f?(x)的定义域及最大值；

（Ⅱ）求使
≥0成立的x的取值集合．

解：（Ⅰ） cosx≠0知
，k∈Z，

即函数f?(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ，k∈Z}．………………………3分

又∵

，

∴
．……………………………………………………………8分

（II）由题意得
≥0，即
≤
，

解得
≤
≤
，k∈Z，

整理得
≤x≤
，k∈Z．

结合x≠kπ，k∈Z知满足f(x)≥0的x的取值集合为

{x|
≤x≤
且
，k∈Z}．………………………………………………12分

17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4， 5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

解：

第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,

每组抽取的人数分别为:第3组:
×6=3; 第4组:
×6=2; 第5组:
×6=1.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分

(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

(A1,A2),

(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),

(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分

其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种,………10分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
…………12分

18.在四棱锥
中，
平面
，
,
.

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)求
与平面
所成角的正弦值；

(Ⅲ)线段
上是否存在点,使
平面
？说明理由.

证明：(Ⅰ)在四棱锥
中，因为
平面
，
平面
,

所以
. 因为
， 所以
.

因为
, 所以
平面
.

因为
平面
,所以
. ………4分

(Ⅱ) 如图，以为原点建立空间直角坐标系
. 不妨设
，则
.

则
.

所以
，
.

设平面
的法向量
.

所以
.即
.

令
，则
.

所以
所以

所以
与平面
所成角的正