2014届高考冲刺卷（4）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.已知
是虚数单位，复数
是纯虚数，则实数
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知集合
则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设
是平面
内两条不同的直线，
是平面
外的一条直线，则“
,且
”

是“
”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．若平面向量
与向量
的夹角为
，且
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知函数
，其中实数
随机取自区间
，则对于
，都有

恒成立的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.若实数
满足条件
，则
的最小值是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．已知对于正项数列
满足
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．现有4名学生参加某项测试，共有4道备选题目，若每位学生从中有放回地随机选出一道

题进行回答，则恰有1道题没有被这4位选中的情况有（ ）

A.
种 B．

种 　C．
种 D．
种

9. 已知
，则
函数
的零点个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10.抛物线
的焦点为
，点
在此抛物线上，且
，弦
的

中点
在其准线上的射影为点
，则
的
最大值为( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

11．已知

若

，根据以上等式，可推测
的值，

则
。

12.
展开式中含
项的系数之和为 。[来源:学科网ZXXK]

13.
的三个内角
所对的边分别为

且
，则
。

14. 执行右图所示的
程序框图，则输出的
值为 。

15．选做题（请在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

（A）（不等式选讲）已知函数
，存在实数
，使得
有

解，则实数
的取值范围为 。

（
B）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线
的方程是
，过点
　作曲线
的切线，则切线长为 。

（C）(几何证明选讲）如图，
是圆
的切线，切点为
, 点
在

圆
上，

，则圆
的面积为 。

三．解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16．（本小题12分）

已知
的面积为
，且满足
,设
的夹角是
。

（Ⅰ）求
的取值范围；（Ⅱ）求函数
的最小值。

17. （本小题12分）

在数列
中,
,且对任意的
,都有
。

（Ⅰ）求证:数列
是等差数列；（Ⅱ）设数列
的前
项和为
,求
的值（
）。

18．（本小题12分）

已知正三棱柱
-
的侧棱
长和底面边长均为1，
是

边上的中点，
是侧棱
上的点，且
=2

（Ⅰ）求二面角
的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求点
到平面
的距离。

[来源:学科网]

19．（本小题12分）

为培养学生良好的学习习惯，学校对高一年级中的110名学生进行了有关作业量的调查，统

计数据如下表：

认为作业多

认为作业不多

合计



喜欢玩游戏

40

20





不喜欢玩游戏

20







合计









（Ⅰ）请补充完成
列联表，并根据此表判断：喜欢玩游戏与作业量是否有关？

（Ⅱ）若从喜欢玩游戏的60名学生中利用分层抽样的方法抽取6名，再从这6名学生中任取4名，求这4名学生中“认为作业多”的人数
的分布列与数学期望。

附：

0.05

0.025


0.010

0.005

0.001





3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





20 .（本小题13分）

已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，其左、右焦点分
别为
，短轴长为
。

点
在椭圆
上，且满足
的周长为

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设过点
的直线
与椭圆
相交于
两点，试问在
轴上是否存在一个定点
，使得
恒为定值？若存在，求出该定值及点
的坐标；若不存在，请说明理由。

21．（本小题14分）

已知函数
。

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线
与直线
垂直，求实数
的值；

（Ⅱ）若
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）证明：
。

2014届高考冲刺卷（4）

数学（理
科）参考答案

选择题:BACBB ACBDA

二.11.
12 .
13 .
14.
15. A
B
C

三.解答题 16. 解：（Ⅰ）设
角
的对边分别是

由
及
得

（Ⅱ）经化简

又
在
上是增函数，当
即

故：当

时，

17.（Ⅰ）证明：

所以数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
所以

又




由-可得

故

18. 解：（Ⅰ）如图，以点
为坐标原点，
为
轴，
为
轴，
的垂线为
轴，建立空间直角坐标系。则

,
,

,
,

设面
的法向量为
，计算得

设面
的法向量为
，计算得

设
的平面角为
，则
[来源:学科网ZXXK]

所以

故：二面角
的平面角的余弦值为
。

（II）由（Ⅰ）及距离公式可知：

点
到平面
的距离为：

19. （1）统计数据如下表：

认为作业多

认为作业不多

合计



喜欢玩游戏

40

20

60



不喜欢玩游戏

20

30

50



合计

60

50

110



将表中的数据代入公式，可求得

查表

有
的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关。

（2）易知，利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有
（名），“认为作业不多”的学生有2名。

由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数
的所有可能取值为2,3,4.

其中

所以
的分布列为

2

3

4













故
的数学期望为

另解：
，则

20. 解：（I） 由题知：
，解得

椭圆
方程为：

（II）设
。

设直线
的方程为：
（
存在）

联立
得:

则

又

=
=

而
=

=
=
为定值。

只需
，解得：
，从而
=
。

当
不存在时，

此时，当
时，
=

故：存在
，使得

21. 解：（Ⅰ）函数的定义域为
，

所以

又切线
与直线
垂直，

从而
，解得

（Ⅱ）若