重庆市六校2014届高三下学期（5月）第三次诊断性考试数学理试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题，50分）

一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）

1. 若集合
，
，则
=

A．
B．
C．
D．

2．下列结论正确的是

A．若向量
，则存在唯一的实数
使得
；

B．已知向量
为非零向量，则“
的夹角为钝角”的充要条件是“
”；

C．“若
，则
”的否命题为“若
，则
”；

D．若命题
，则

3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．

已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，

则x，y的值分别为

A．2，6 B．2，7 C．3，6 D．3，7

4.某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是
,则

A．
　 B．
　

C．
D．

5．若(9x－)n（n∈N*）的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为

A．84 B．－252

C．252 D．－84

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．
B．
C．
D．

7.

A.
B.
C. 1 D.

8．如图所示，在
中，
，在线段
上，设
，
，
，则
的最小值为

?? ? B. 9
???

C. 9??? D.

9．设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数y＝f(x)－x－不同零点的个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

10.对于三次函数
，给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的 “拐点”。经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数
，则

A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（5分每题，14、15、16任选两题）

11．设复数
，其中
，则
______．

12．无重复数字的五位数a1a2a3a4a5 , 当a1a3, a3a5时称为波形数,则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为 ．

13．定义域为的偶函数
满足对
，有
，且当
时，
，若函数
在
上至少有三个零点，则的取值范围 。

考生注意：14、15、16为选作题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

14．直线
（为参数）与圆
（
为参数）相交所得的最短弦长为

15．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC． 过点 A 作圆的切线与DB的延长线交于点E， AD与BC交于点F．若AB = AC，AE =
， BD = 4，则线段CF的长为______．

16．设函数
若存在
，使得
成立，则的取值范围为

三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）

17．(本小题满分13分)

已知数列{
}的前n项和
(n为正整数)。

（Ⅰ）令
，求证数列{
}是等差数列，并求数列{
}的通项公式；

（Ⅱ）令
，
，求
。

18 （本小题13分）已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
取得最大值和最小值时的值；

（Ⅱ）设锐角
的内角A、B、C的对应边分别是
，且
，若向量
与向量
平行，求的值。

19.（本小题满分13分）

某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。

（Ⅰ）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；

（Ⅱ）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？

20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥

中，
//
，
，
，

，平面
平面
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若直线
与平面
所成的角的正弦值为

，求二面角
的平面角的余弦值．

21.（本小题满分12分）

已知圆

,若椭圆
的右顶点为圆
的圆心，离心率为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若存在直线
，使得直线
与椭圆
分别交于
两点，与圆
分别交于
两点，点
在线段
上，且
，求圆
的半径的取值范围．

22、（12分）已知函数
（为自然对数的底）

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，若函数
对任意的
恒成立，求实数的值；

（Ⅲ）求证：

六校高2014级第三次诊断性考试

数学(理科)答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.D 2.C 3D. 4.C 5.A 6.C 7.A 8.D 9.B 10.B

.

二、填空题（本大题共6小题，考生答5小题，每小题5分，共25分。）

（一）必做题（11—13题）

11. —
12.
13.

（二）选做题（14—16题，考生只能从中选做两题）

14. 2
15.
16.

三、解答题（本大题共6小题，共75分。）

17 解（Ⅰ）在
中，令n=1，可得
，即
..............1

当
时，
，..................2

.

又
数列
是首项和公差均为1的等差数列................................................4

于是
.........................................................................6

(II)由（I）得
，所以

由①-②得

……………………………………13

18 解：（1）

………………………..3分

，
……..4分

所以当
，
取得最大值；

当
，
取得最小值；………..6分

（2）因为向量
与向量
平行，

所以
，
…………….8分

由余弦定理
，

，又
，经检验符合三角形要求………..13分

19、（Ⅰ）甲抽奖一次，基本事件总数为
=120,奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240.

一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P(ξ=240)=

三球连号的情况有1，2，3；2，3，4;……8,9,10共8种，所以P(ξ=60)=

仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；……8，9各有6种。

得奖金30的概率为P（ξ=30）=

奖金为0的概率为P（ξ=0）=

ξ的分布列为：

ξ

0

30

60

240



P












6分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P=
10分

四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数η～B（4，
）故
.13分

20．法一（Ⅰ）取
中点，连接
，则
，

∴四边形
是平行四边形，∴
//

∵直角△
和直角△
中，

∴直角△
直角△
，易知

∴
2分

∵平面
平面
，平面
平面

∴
平面

∴