数学 理科

一.选择题（本大题共10个小题，每题4分，共40分）

1.已知集合A＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x，x∈R}，则集合A∩B中的元素个数为(　　)

A．0　　　　　　　B．1 C．2 D．无穷个

2.函数
，若
,则
的值为（ ）

A.3 B.0 C.-1 D.-2

3.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则(　　)

A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3)

C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)

4.已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝(　　)

A．－1 B. C．－1或 D．1或－

5.方程()|x|－m＝0有解，则m的取值范围为(　　)

A．0＜ m ≤1 B．m ≥ 1 C．m ≤－1 D．0 ≤m ＜1

6.若lga＋lgb＝0(其中a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象（ ）

A．关于直线y＝x对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称

7.已知
是定义在R上的函数，且
恒成立，当
时，
，则当
时，函数
的解析式为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8.当∈[0，2]时，函数
在
时取得最大值，则a的取值范围是

A、[
B、[
C、[
D、[

9.已知函数
<
<
,则
（ ）

A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不大于零

10．定义在R上的函数
满足
．
为
的导函数，已知函数
的图象如右图所示.若两正数
满足
，则
的取值范围是（ ）

A
B
C
D

二．填空题（本大题共4个小题，每题4分，共16分）

11.函数
在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝　　。

12.函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．

13.已知函数
在x＝－1时有极值0，则m＝______；n＝_______；

14.
，则f(2010)= .

三．解答题（本大题共4个小题，共44分）

15.（10分）函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；

(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.

16.(10分) 设函数
求证：

（1）
；

（2）函数
在区间（0，2）内至少有一个零点；

17.（12分）已知函数
在
处有极值．

（Ⅰ）求实数值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）令
，若曲线
在
处的切线与两坐标轴分别交于，两点（
为坐标原点），求
的面积．

18.（12分）已知函数
，
.

（Ⅰ）如果函数
在
上是单调增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数
，使得方程
在区间
内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

数学 答案

一．选择题：

CBACA BDDCB

二．填空题

11.2 12. (－∞，0) 13. m＝2，n＝9 14.2010

三．解答题

15.【解析】　(1)依题意得即?∴f(x)＝.…………3分

(2)任取－1＜x1＜x2＜1，f(x1)－f(x2)＝－＝

∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1＋x12＞0,1＋x22＞0.又－1＜x1x2＜1，∴1－x1x2＞0

∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数． …………7分

(3)f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，

∴－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜. …………10分

16. 证明：（1）

又


……………………2分

又2c=－3a－2b 由3a＞2c＞2b ∴3a＞－3a－2b＞2b

∵a＞0
………………………………………………4分

（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a－c………………………………6分

①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且

∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点……………………8分

②当c≤0时，∵a＞0

∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点.

综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点…………………………10分

17. 解：（Ⅰ）因为
，

所以
．………………………………………………2分

由
，可得
，
．

经检验
时，函数
在
处取得极值，

所以
．………………………………………………………………4分

（Ⅱ）
，

．………………………………5分

而函数
的定义域为
，

当变化时，
，
的变化情况如下表：























极小值





由表可知，
的单调减区间为
，
的单调减区间为
．……8分

（Ⅲ）由于
，

所以
，当
时，
，
．

所以切线斜率为，切点为
，

所以切线方程为
，即
．…………………………………10分

令
，得
，令
，得
．

所以
的面积
．…………………………………………12分

18.解：（Ⅰ）当
时，
在
上是单调增函数，符合题意．………1分

当
时，
的对称轴方程为
，由于
在
上是单调增函数，

所以
，解得
或
，所以
． …3分

当
时，不符合题意．

综上，的取值范围是
． ……………………4分

（Ⅱ）把方程
整理为
，

即为方程
. ……………………5分

设

，

原方程在区间(
)内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数
在区间(
)内有且只有两个零点. ……………………6分

…………………7分

令
，因为
，解得
或
（舍） …………………8分

当
时,
,
是减函数；

当
时,
，
是增函数. …………………9分

在(
)内有且只有两个不相等的零点, 只需

…………………10分

即
∴

解得
, 所以的取值范围是(
) ． …………………12分