一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分)

1．已知集合

，则集合
有（ ）个子集

A.
B. C.
D.

2．函数
的定义域是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．函数
，若
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

4．已知关于的方程
的两个实数根
满足
，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

5．已知条件
，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（ ）

A.
B.
C.
或
D.
或

6．若
且
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

7．若函数
在实数集上单调递增，且
，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

8．已知
，对任意
，恒有
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题.(共5小题，每小题5分，共25分)

11. 已知幂函数
在
处有定义，则实数m＝ ；

12. 设
，若
，则
；

13．已知
是定义在上的奇函数，且当
时,
，则不等式
的解集是 ；

14．定义在上的函数
满足
是偶函数，且恒有
，又
，则
；

15. 已知
是定义在
上的单调函数，且恒有
，则方

程
的实数解的个数是 ；

三、解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)

16．（13分）已知函数
的图像在点
处的切线的斜率为
．

（1）求实数的值；

（2）求
的单调区间．

17．（13分）已知条件
函数
在
上单调递增；条件
存在
使得不等式
成立．如果“且”为真命题，求实数的取值范围．

18．（13分）已知函数
．

（1）当
时，求函数
在
上的最大值和最小值；

（2）求函数
的定义域，并求函数
的值域（用表示）．

19．（12分）市场营销人员对最近一段时间内某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析后发现如下规律：当该商品的价格上涨%(
)时，其日销售数量就减少
%(其中
为正数)，预测此规律将持续下去．目前该商品定价为每件10元，统计得到此时每日的销售量为1000件．

（1）当
时，问该商品该定价多少，才能使日销售总金额达到最大？并求出此最大值；

（2）如果在涨价过程中只要不超过100，其日销售总金额就不断增加，求
的取值范围．

20．（12分）定义二元函数

，如
．已知二次函数
过点
，且满足
对
恒成立．

（1）求
的值，并求函数
的解析式；

（2）若关于的方程
（为自然对数的底数，为参数）在
上有解，求实数的取值范围；

（3）记函数
，试证明：
是关于的增函数，其中
．

2013年重庆一中高2014级高三上期第一次月考

数 学 试 题 参 考 答 案（理科） 2013.9

18．（13分）

解：（1）令
，显然在
上单调递减，故

，

故
，即当
时，
，（在
即
时取得）

，（在
即
时取得）

（2）由
的定义域为
，由题易得：
，

因为
，故
的开口向下，且对称轴
，于是：

当
即
时，
的值域为（
；

当
即
时，
的值域为（

20．（12分）

解：（1）

发现，在令
时可得

设
，由
得
，于是
，

由题：
，

，

检验知此时满足
，故
；

【或解：当没有发现
时，下面给出一种解答：设
，由题：

，

于是
可得

代回
及
中可得
，于是得到
；】

（2）令
，因为
，故
，题意
关于的方程

在
上有解，分离参数，得到

，的范围即为右式的值域，令
，

则右式
，由双勾函数知其值域为
，也即满足题意的的范围为
；

（3）即证
，等价于证
．

法一：（导数法）所证

考查函数
，则
，令

，因为
，所以
在
，所以
时，

时
，故
在
，

令
，则
，即
，证毕；

法二：（用
阶均值不等式）

．

（2）先研究
时函数
的值域中的元素个数，记为
，下研究
的递推关系：

因为
时，
，
，其含有
个正整数，

故
，由（1）知
，叠加可得

即当
时函数
的值域中的元素个数为

于是当
时函数
的值域中的元素个数为

（说明：也可直接研究
与
的关系）

于是：

第一项保留不动，从第二项起，利用上式放缩，得：

，证毕．

附加说明：下面这种放缩方法：

在保留前三个项（或更少项）时是证不出来的，需要至少保留前四项才可以证得出来,下面给出证明：

，

利用分析法得：

，此式成立，证毕．

Over了．