2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第十一次适应性训练

数 学（文科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．集合

A．（0，2） B．（1，2] C．（1，2） D．[1，2]

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A．
B．
C．
D．

3．设
，是虚数单位，则“
”是“复数
为纯虚数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知圆
，
过点
的直线，则

A．
与
相交 B．
与
相切

C．
与
相离 D. 以上三个选项均有可能

5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是

A．46，45，56

B．46，45，53

C．47，45，56

D．45，47，53

6．设向量
=（1,
）与
=（-1，2
）垂直，则
等于

A．
B．
C . 0 D. －1

7．设函数
，则

A．x=1为
的极大值点 B．x=1为
的极小值点

C．x=－1为
的极大值点 D．x=－1为
的极小值点

8.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出值等于

A．
B．
C．0 D．

9.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是

A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱

10. 小王从甲地到乙地的时速分别为a和b（a

A. v=
B. a

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

11.已知关于的不等式
在R上恒成立，则实数的取值范围是 .

12.从点P（2,3）向圆
作两条切线PA,PB,切点为A，B，则直线AB的方程是 .

13. 在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2 ，B=
，c=2
，则b= .

14. 右图是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题）若存在实数使
成立，则实数的取值范围是 .

B.（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，

垂足为E，
，垂足为F，若
，
，则

.

C.（坐标系与参数方程）直线
与圆
相交的弦长为 .

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.函数
（
）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为
，

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）设
，则
，求的值.

17. （本小题满分12分）

(Ⅰ)叙述并证明面面垂直性质定理;

(Ⅱ)P(
)

18.（本小题满分12分）

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上



顾客数（人）



30

25



10



结算时间（分钟/人）

1

1.5

2

2.5

3



已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.

（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

19. （本题满分12分）已知数列
中，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的通项公式.

20. （本题满分13分）已知函数
，（
）

（Ⅰ）若
在定义域上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数
有唯一零点，试求实数的取值范围．

21. （本题满分14分）已知椭圆
，椭圆
以
的长轴为短轴，且与
有相同的离心率。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
为坐标原点，点A，B分别在椭圆
和
上，
，求直线
的方程.

试卷类型A

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数学（文科）参考答案

一．选择题: BDBAA CDADB

二．填空题: 11. (0,8) 12.
13.2 14.
15.A.
B.5 C.

三．解答题

16. 解：(Ⅰ)

（Ⅱ）

17.略。

18.解：（Ⅰ）由已知得
，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:

(分钟).

（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，
分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为
分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得

.

是互斥事件，

.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为
.

19. 解：（Ⅰ）∵

当
时，
，

∴
，

∴

当
时，
也满足上式， ∴数列
的通项公式为

（Ⅱ）

20. 解：
，

∴
，∴
，∴
，

令
，则
有根：
，

，
，函数
单增；
，
，函数
单减； ∴
；

（Ⅱ）
有唯一正实数根，

，记
；

（ⅰ）若
，
即函数
在定义域上单调递增，

又
，
，即函数
有唯一零点；

（ⅱ）若
即
，则
从而
又当
时，
，而当
时，
；故函数
有唯一零点；

（ⅲ）若
，则
，则方程
的两根满足：

，即两根均小于0，

故
，从而
，由（ⅱ）同理可知，仍满足题意；

（ⅳ）若
，同样
，则方程
的两根为：

，
（舍）；

当
时，
，故
在
为增函数，

当
时，
，故
在
为减函数，

故当
时，
取得最大值
；则
，即
，

所以
，即
；

令
，则
即
为定义域上增函数，

又
，所以方程
有唯一解
，

故
，解得
；

综上，实数的取值范围为：
．

21.解：（Ⅰ）由已知可设椭圆
，

其离心率为
。

故椭圆
。

（Ⅱ）解法一 A，B两点的坐标分别记为
及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx。

解法二 A，B两点的坐标分别记为
，

由
及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，

（Ⅰ）