2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第十一次适应性训练

数学（理科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分；考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题(共50分)

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.若为虚数单位，则复数
在复平面上对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2.已知集合
，
，若
，则实数的所有可能取值的集合为 ( )

A．
B．
C．
D．

3.下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若
”的否命题为：“若
”

B．命题“若
”的逆否命题为真命题

C．命题“
，使得
”的否定是：“
，均有
”

D．“
”是“
”的必要不充分条件

4.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体

的表面积是（ ）

A．
B．

C．
D．

5.
展开式的第6项系数最大，则其常数项为（ ）

A. 210 B.120 C. 252 D. 45

6.若圆
的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）

A．
B．

C．
D．

7. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋

友1本，则不同的赠送方法共有 ( )

A.4种 B.10种 C.18种 D.20种

8. 已知
满足
时，
的最大值为1，则
的最小值为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

9.已知函数
，
，
的零点分别为

，则
的大小关系是 ( )

A．
B．
C．
D．

10.已知ΔABC为等边三角形，
，设
满足
若
，则
等于（ ）

A．
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题(共100分)

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 观察下列式子：

则可以猜想的一般结论为：_____________ .

12. 图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若

输入
，
，则输出
．

13.一物体以速度
（的单位：s，的单位：
）在一直线上运动，在此直线上物体出发的同时，物体在物体的正前方
处以
（的单位：s，的单位：
）的速度与同向运动，则经过 物体追上物体.

14．函数
（
，
，
）

的部分图象如图所示，则函数
对应的解析式为 ．

15．选做题（请在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A.若关于实数的不等式
无解，则实数的取值范围为 ．

B.如图,已知圆中两条弦
与
相交于点,

是
延长线上一点,且
，

,若
与圆相切,

则线段
的长为 ．

C.在直角坐标系中圆C的参数方程为
（为参数），若以原点
为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆
的极坐标方程为___ __．

三、解答题（本大题共6小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆
交于点
，将射线
按逆时针方向旋转
后与单位圆
交于点
，
；

（Ⅰ）若角为锐角，求
的取值范围；

（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，若

，
的面积为
，求的值。

17. （本题满分12分）空气质量指数
(单位:
)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．
的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

日均浓度

0～35

35～75

75～115

115～150

150～250

＞250



空气质量类别

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染





从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的
日均浓度指数数据茎叶图如图所示．

（Ⅰ）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别

为优或良的天数；

（Ⅱ）在甲城市这15个监测数据中任取个，设
为空气质量类别

为优或良的天数，求
的分布列及数学期望。

18. （本题满分12分）如图，已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，

，
是
的中点，
是
的中点，点在直线
上，且满足
.

（Ⅰ）当
时，求直线
与平面
所成的角
的

正弦值；

（Ⅱ）若平面
与平面
所成的角为
，试确定点的位置。

19. （本题满分12分）已知数列
中，
,
,
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的通项公式。

20. （本题满分13分）已知函数
，（
）

（Ⅰ）若
在定义域上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数
有唯一零点，试求实数的取值范围．

21. （本题满分14分） 已知动圆过定点
，且与直线
相切，其中
.

（Ⅰ）求动圆圆心
的轨迹的方程；

（Ⅱ）设
是轨迹
上异于原点
的两个不同点，直线
和
的倾斜角分别为和
，当
变化且
为定值
且
时，证明直线
恒过定点，并求出该定点的坐标。

2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第十一次适应性训练

数学（理科）参考答案

一、选择题：（A卷）DCBDA CBCAA

二、填空题：11.
12.67 13.4

14.
15. A.
B.
C.

三、解答题

16. 解：由三角函数定义知，

由角为锐角知，
∴

∴
∴
的取值范围是

（Ⅱ）由
得
∵
∴

由

得
由余弦定理得

17.解：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．

所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．

（Ⅱ）
的取值为0，1，2，

因为
，
，
．

所以
的分布列为：



1















所以数学期望
．

18. 解：（Ⅰ）以
,
,
分别为
轴，建立空间直角坐标系
，

则
，平面
的一个法向量为

则
.

（Ⅱ）已知给出了平面
与平面
所成的角为
，取平面
的一个法向量为
，设平面
的一个法向量为
，
.

由
得
，令

，

解得
的延长线上，且
.

19. 解：（Ⅰ）∵

当
时，
，

∴
，

∴

当
时，
也满足上式， ∴数列
的通项公式为

（Ⅱ）

20.解：（Ⅰ）
，

∴
，∴
，∴
，

令
，则
有根：
，

，
，函数
单增；
，
，函数
单减； ∴
；

（Ⅱ）
有唯一正实数根，

，
，记
；

（ⅰ）若
，
即函数
在定义域上单调递增，

又
，
，即函数
有唯一零点；

（ⅱ）若
即
，则
从而
又当
时，
，而当
时，
；故函数
有唯一零点；

（ⅲ）若
，则
，则方程
的两根满足：

，即两根均小于0，

故
，从而
，由（ⅱ）同理可知，仍满足题意；

（ⅳ）若
，同样
，则方程
的两根为：

，
（舍）；

当
时，
，故
在
为增函数，

当
时，
，故
在
为减函数，

故当
时，
取得最大值
；则
，即
，

所以
，即
；

令
，则
即
为定义域上增函数，

又
，所以方程
有唯一解
，故
，解得
；

综上，实数的取值范围为：
．

21.解：（Ⅰ）设
为动圆圆心，
为记为，过点
作直线
的垂线，垂足为
，由题意知：
即动点