重庆市六校2014届高三下学期（5月）第三次诊断性考试数学文试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．已知i是虚数单位，a，b∈R，且
，则a＋b＝

A．1 B．－1 C．3 D．－3

3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．

已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为

A．2，6 B．2，7 C．3， 6 D．3，7

4．执行如图所示的程序框图，则输出的s值是

A．-1 B．
C．
D．4

5．某几何体的三视图如题(5)图所示，则这个几何体的表面积为

A．
B． C．
D．

6．已知直线
与曲线
相切于点
，则

A ．
B． C．
D．

7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：

根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为
那么表中t的值

A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5

8．函数
的部分图象如图所示，函数
（
）为偶函数，要得到
的图象，只需将
的图象向（ ）平移（ ）个单位.

A．右；
B．左；

C．右；
D．左；

9．已知
，点到两点
、
距离之差的绝对值为
，设点的轨迹为C，过
作
且交曲线C于点、，若
是直角三角形，则
的值为

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
，且
，则当y≥l时，
的取值范围是

A．[
，
] B．[0，
] C．[
，
] D．[0，
]

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

11．若命题
，则
是 .

12．已知向量
，若
，则
的最小值为 。

13．已知幂函数
的图像经过点
，则
_________.

14．在平面区域
内任取一点
，若
满足
的概率等于
，则b的值是 ．

15．在
中，
，如果一个椭圆通过
两点，它的一个焦点为点
，另一个焦点在
上，则这个椭圆的离心率为____________.

三 解答题（本大题共6小题，共75分）

16. （本小题满分13分 等比数列
中，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
分别为等差数列
的第4项和第16项，试求数列
的前项和
．

17．（本小题13分）某中学的数学测试中设置了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个内容，成绩分为A、B、C、D、E五个等级。某班考生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人

（Ⅰ）求该班考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；

（Ⅱ）若等级A、B、C、D、E分别对应5分、4分、3分、2分、1分，该考场中有2人10分，3人9分，从这5人中随机抽取2人，求2人成绩之和为19分的概率。

18．（本小题13分） 已知函数
，直线
与
的图象交点之间的最短距离为．

（Ⅰ）求
的解析式及其图象的对称中心；

（Ⅱ）设
的内角
的对边分别为
，若
,

且
，
，求
的面积.

19．（本小题满分12分）如下图左，直角梯形
中, 四边形
是正方形,
,
.将正方形沿
折起，得到如图右所示的多面体,（其中
分别记为
）若面
面
,
是
中点．

（Ⅰ）证明：
∥平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

20．（本小题满分12分）已知函数
，令
.

（Ⅰ）当
时，求
的极值；

（Ⅱ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅲ）当
时，若对
，使得
恒成立，求实数的取值范围.

21．(本小题满分 12分)已知椭圆C：

的右焦点
，右顶点，且
.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若动直线
与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线
交于点Q，问：是否存在一个定点
，使得
.若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由.

六校高2014级第三次诊断性考试

数 学（文史类）参考答案

一 选择题1～5 C C D D C; 6～10 C A D B A

二、填空题：

11．
12． 6 13．
14．1 15.

16:解：三、16. 解：（Ⅰ）设
的公比为,

由已知得
，解得
． …………………………………………3分

又
，所以
．…………………………………………6分

（Ⅱ）由（I）得
，
，则
，
．

设
的公差为，则有
解得
…………………………9分

则数列
的前项和

…… 13分

17解：（1）由题意得该班总人数是
人 …………….2分

“阅读与表达” 科目中成绩等级为A的人数为

……………………………………6分

（2）从5人中选2人共有10种，从10分的2人中选1人有2种，从19分的3人中选1人有3种，所以2人成绩之和为19分的概率为
； ………………12分

答：(1)该班考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人有3人；（2）2人成绩之和为19分的概率是
。 ……….. 13分

18. 解：（1）
……3分

由题可知，

, ………………5分

对称中心
………………6分

（2）

又

………………9分

由余弦定理，
………11分

………13分

19. (1)证明：取
中点
，连结
．在△
中，
分别为
的中点，所以
∥

．由已知
∥
，
，所以
∥
，且
．所以四边形
为平行四边形，所以
∥
．

又因为
平面
，且
平面
，

所以
∥平面
． ………………6分

（２）
∥
,
面
,
面
,
∥平面
,

两点到平面
距离相等

因为翻折后垂直关系不变，所以
平面
,
是三棱锥
高

面
面
，
面
，面
面
，
，
面
，

,
是直角三角形

……12分

另解：面
面
，
面
，

面
面
，
，
面

又
面
，

梯形
中，
,
，
,

所以，
,
,

,所以,
平面

又
平面
,所以，平面
平面
　

作

,则
平面
，
是所求三棱锥高

在直角三角形
中，由面积关系可得
，又

所以，
………………12分

20. （1）

当
时，
.

令
，得
.

当
单调递减

当
单调递增

所以当
时，
有极小值
； 无极大值。………………4分

（2）

当
时，
的减区间为
，
，增区间为
………8分

（3）由（2）可知，当
时，
在
上单减，

所以

所以

.

所以

整理得
，又
，则

故的取值范围为
…………………………………………12分