一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.复数
为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是

A．
B．
C．
D．

2. 设全集为R，集合A=
，则

A．
B．
C．
D．

3．在等差数列
中，若
，则
的值为

A．20 B．22 C．24 D．28

4.阅读下程序框图，若输入
，
，则输出
分别是

A．
B.

C．
D.

5．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得

几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．8 B．

C．
D．

6.已知函数
,且
在

7.

A．9 B．8 C．4 D．2

8．已知
，若
恒成立，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9.定义在上的函数

的单调增区间为
，若方程
恰有4个不同的实根，则实数的值为

A．
B．
C．1 D．-1

10．过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为,延长
交双曲线右支于点，若
,则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11. 已知
__▲_______.

12. 已知数列
满足：
，则
___▲_____.

13.右图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ___▲ ．


▲ ．

15.已知
___▲ .

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16.（本小题满分13分）

数列
的前项和
，且
，
．

⑴求数列
的通项公式；

⑵记
，求数列
的前项和
．

17.（本小题满分13分）

某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组得到的频率分布表如下：

组号

分组

频数

频率



第一组

[160,165)

5

0．050



第二组

[165,170)



0．350



第三组

[170,175)

30





第四组

[175,180)



0．200



第五组

[180,185]

10

0．100



合计



100

1．00



（1）为了能选拔出优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，试确定，
，的值并求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；

（2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组中至少有一名学生被A考官面试的概率.

18. （本小题满分13分）

设函数
，已知函数
的图像的相邻对称轴的距离为.

（1）求函数
的解析式;

（2）若△
的内角为
所对的边分别为
（其中
），且
，
面积为
，求
的值.

19．（本小题满分12分）

20．（本小题满分12分）

函数
.

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）当
时，若
在区间
上的最小值为
，求的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知椭圆
的左，右焦点分别是
，离心率
，为椭圆上任一点，且
的最大面积为.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设斜率为
的直线
交椭圆
于
两点，且以
为直径的圆恒过原点
，若实数满足条件
，求的最大值.



11.
12.
13. 0.3

14.
15. 2013

16.((1)问6分,(2)问7分)

解:（1）由
，且

可得

当
时，

当
时，

∴

（2）

17. ((1)问6分,(2)问7分)

解:（1）由频率分布表知
，
，
因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，

每组分别为：第三组
人，第四组
人，第五组
人．

所以第三、四、五组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试.

（2）设第三组的3名学生为A1、A2、A3，

第四组的2名学生为B1、B2，

第五组的1名学生为C1.

则从6名学生中抽取2名学生有15种可能：

（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2、C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），

第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试共有9种可能。

所以其中第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试的概率为
．

18. ((1)问6分, (2)问7分)

19((1)问6分,(2)问6分)

20((1)问6分,(2)问6分)

（Ⅰ）当
时，
，

此时：
，于是：切线方程为
.

（Ⅱ）

令
得：

当
即
时，
，函数
在
上单调递增，于是
满足条件

当
即
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

于是
不满足条件.

当
即
时，函数
在
上单调递减，此时
不满足条件.

综上所述：实数的取值范围是
.

21(1)问6分,(2)问6分)

（Ⅰ）依题意得：
，解得：
，

所以椭圆
的方程
，

（Ⅱ）设直线
的方程
由
得：
，

设
，则
.

由于以
为直径的圆恒过原点
，于是
，即
，

又
，

于是：
，即

依题意有：
，即
.

化简得：
.

因此，要求的最大值，只需求
的最大值，下面开始求
的最大值：

.

点
到直线
的距离
，于是：
.

又因为
，所以
，

代入得
.令
，

于是：
.

当
即
，即
时，
取最大值，且最大值为
.

所以的最大值为
.