万州二中高2014级高三3月考试

数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．1. 已知全集
,集合
,
,则集合

A．
B．
C．
D．

2．复数
等于

A．1+ B.﹣1﹣ C. 1﹣ D.﹣1+

3．设随机变量
服从正态分布N (3，7)，若
，则a =

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知
，那么下列不等式成立的是

A．
B．

C.
D．

5．一几何体的三视图如上图，它的体积为

A．2 B．
C．
D．

（第5题图）

6．如右上图，已知
为如图所示的程序框图输出的结果，二项式
的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为

A． B．
C．
D．

7．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的月秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是

A．
B．
C．
D．

8．已知正项等比数列
满足
。若存在两项
使得
，则
的最小值为

A
B
C
D

9．设点是双曲线
右支上一动点，
分别是圆
和
上的动点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．函数
的定义域为,若存在非零实数，使得对于任意
有
且
，则称
为
上的度低调函数.已知定义域为
的函数
，且
为
上的
度低调函数，那么实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题
分，共
分．

11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 ▲ 人．

12．某小朋友按如右图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，，一直数到2013时，对应的指头是 ▲ (填指头的名称)．

13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第个三角形数为
。记第个
边形数为

，以下列出了部分
边形数中第个数的表达式：

三角形数

正方形数

五边形数

六边形数

……

可以推测
的表达式，由此计算
▲ 。

（二）选考题（请考生在第14，15、16两题中任选两题作答）

14．（选修4-1：几何证明选讲）

如图,在△ABC中,AB＝AC,
72° ,⊙O过A、B两点且与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝
,则
▲ ．

15．（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知曲线
的极坐标方程分别为
，
，则曲线
与
交点的极坐标为 ▲ ．

16、不等式
对任意实数恒成立，则实数的取值范围为_______▲__________

三、解答题：本大题共6小题，共
分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分13分）已知函数
（
）在
处取最小值．

（Ⅰ）求φ的值；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C．

18．（本题满分13分）M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生．这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．

(1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？

(2)若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．

19．（本题满分13分）如图，
为矩形，
为梯形，平面
平面
，

，
.

（Ⅰ）若
为
中点，求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求平面
与
所成锐二面角的大小．

20．（本题满分12分）已知函数
在
处的切线的斜率为1．

（为无理数，
）

（Ⅰ）求的值及
的最小值；

（Ⅱ）当
时，
，求的取值范围；

21．（本题满分12分）已知椭圆
的右焦点为F2（1，0），点
在椭圆上。

（1）求椭圆方程；

（2）点
在圆
上，M在第一象限，过M作圆
的切线交椭圆于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由。

22、（本题满分12分）已知数列

满足
，且当

时，
，令
．

（Ⅰ）写出
的所有可能的值；

（Ⅱ）求
的最大值；

万州二中高2014级高三3月考试

数学（理）试卷答案及解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

CBCDA BDBAD

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题
分，共
分．

11．20 12．小指 13．1000 14．2 15．
14、[-1,4]

1．C

2．

3．【解析】由题意知对称轴为
，故选C．

4．

5．答案】A

【解析】：显然有三视图我们易知原几何体为左边是一个正方体，右边是正方体沿对角线切去一半所得到的三棱柱，这样不难得到体积为

6．【解析】由程序框图得
，通项公式
，
的最小值为为5． 故选B．

7．
8．【解析】
，
，解得
，

由
得
，

当
取最小值，故选B．

9．A 10．D

10．

11．【解析】
．

12．【解析】∵小指对的数是5+8n，又∵2013=251×8+5，∴数到2013时对应的指头是小指．

13．【解析与答案】观察
和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故
，

14．【解析】由已知得
，
，解得
．

15．【解析】由
解得
，即两曲线的交点为
．

三、解答题：本大题共6小题，共
分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解答】解：（Ⅰ）f(x)＝2sinx·＋cosxsinφ－sinx

＝sinx＋sinxcosφ＋cosxsinφ－sinx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sin(x＋φ)．

∵f(x)在x＝π处取最小值，

∴sin(π＋φ)＝－1，∴sinφ＝1，

∵0＜φ＜π，∴φ＝． ………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)＝sin(x＋)＝cosx．

由f(A)＝，得cosA＝．

∵角A是△ABC的内角，∴A＝．

由正弦定理＝，得＝，∴sinB＝．

∵b＞a，∴B＝，或B＝．

当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝；

当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝．

故C＝，或C＝． ………………………………13分

18．【解答】解　(1)用分层抽样的方法，

每个人被抽中的概率是＝.

根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，

所以选中的“甲部门”人选有10×＝4人，

“乙部门”人选有10×＝4人．

用事件A表示“至少有一名甲部门人选被选中”，

则它的对立事件表示“没有一名甲部门人选被选中”，

则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.

因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是.………………………………6分

(2)依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3.

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

X

0

1

2

3



P











P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

因此，X的分布列如下：

所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.………………………………13分

19．【解答】（Ⅰ）证明：连结
，交
与
，连结
，

在
中，
分别为两腰
的中点， ∴
，

面
，又
面
，
平面
， ………………………6分

（Ⅱ）解法一：设平面
与
所成锐二面角的大小为
，以为空间坐标系的原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，则

设平面
的单位法向量为
，则可设

设面
的法向量
，应有

，

即：
，

解得：
，所以
，

∴
，所以平面
与
所成锐二面角为60°. …………………13分

解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC ，

∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D，

∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG，又CD∩DH=D，

∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC，

∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角，

在
△
中，
，
，

可以计算

，

在
△
中，
，所以平面
与
所成锐二面角为60°.

20．【解答】（Ⅰ）
，由已知，得
∴a＝1．

此时
，
，

∴当
时，
；当
时，
．

∴当x＝0时，f(x)取得极小值，该极小值即为最小值，∴f(x)min＝f(0)＝0．………………………5分

（Ⅱ）记
，
,

设

①当
时，
，
，

，
，
时满足题意；………………………8分

②当
时，
，得
,

当
，