2014届高三年五地八校5月份综合练习（理数）

角美中学高三数学备课组

一．选择题（每小题5分，共50分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．如果复数
是纯虚数，则实数
的值为（ ）

A．0 B.2 C. 0或3 D. 2或3

2．已知全集U=R，集合
，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

3．若
为等差数列
的前n项和，
，
，则
与
的等比中项为（ ）A.
B .
C .
D.

4．已知
，则
等于（ ）

A
B
C
D

5．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）

A .
B .
C.
D.

6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入
（元）段中抽取了30人，则在这20000人中共抽取的人数为（ ）

A .200 B .100 C. 20000 D. 40

7.设点P（
）满足不等式组
，则
的最大值和最小值分别为（ ）

A
B
C
D

8．设直线与球O有且只有一个公共点P，从直线出发的两个半平面
截球O的两个截面圆的半径分别为1和
，二面角
的平面角为
，则球O的表面积为( )

A .
B.
C.
D.

9．若双曲线
与椭圆
（
）的离心率之积大于1，则以
为边长的三角形一定是（ ）

A 等腰三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形

10．将函数
的图象按向量
平移后得到函数
的图象，若函数
满足
，则向量
的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题: （每小题4分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）

11已知函数
；

12．已知
的展开式中，
，则常数a的值为

13.已知函数
的图象经过点A
，则不等式
的解集为

14.直线
，则
（O为坐标原点）等于

15．给出下列命题：

①已知函数
在点
处连续，则
；

②若不等式
对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是

③不等式
的解集是

④如果
的三个内角的余弦值分别等于
的三个内角的正弦值，则
为

锐角三角形，
为钝角三角形.其中真命题的序号是

（将所有真命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16. (本题13分) 在
中，内角
对边的边长分别是
，已知
，
．

（Ⅰ）若
的面积等于
，求
；

（Ⅱ）若
，求
的面积．

17. (本题13分) 某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答.

（Ⅰ）求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率；

（Ⅱ）求某选手抽到体育类题目数
的分布列和数学期望E
.

18. （本题13分）如图，斜三棱柱
的底面是直角三角形，
，点
在底面
上的射影恰好是
的中点，且
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求证：

；

（Ⅲ）求二面角
的大小.

19. （本小题满分13分）

已知C为圆
是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且

（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；

（Ⅱ）一直线
，原点到
的距离为

（1）求证直线
与曲线E必有两个交点。

（2）若直线
与曲线E的两个交点分别为G、H，

求△OGH的面积的最大值。

20. （本小题满分13分）

设函数
（
R）.

（Ⅰ）当
时，求
的极值；

（Ⅱ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅲ）当
时，对于任意正整数，在区间
上总存在+4个数

使得


成立，试问：正整数是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转
的变换所对应的矩阵为
,将每个点横、纵坐标分别变为原来的
倍的变换所对应的矩阵为
．

（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵
；

（Ⅱ）求曲线
先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程．

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点
为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（为参数）．

（Ⅰ）分别求出曲线
和直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点在曲线
上，且到直线
的距离为1，求满足这样条件的点的个数．

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

已知
，且
．

（Ⅰ）试利用基本不等式求的最小值；

（Ⅱ）若实数
满足
，求证：
．

数学（理科）试题答案

一、选择题：ABC D CAAD DB

二、填空题: （每小题4分，共20分）

11. 1/2 12．
13.
14.
15． 124

三、解答题：

16. (本题13分) 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，
，

又因为
的面积等于
，所以
，得
．

联立方程组
解得
，
．

（Ⅱ）由题意得
，

即
，

当
时，
，
，
，
，

当
时，得
，由正弦定理得
，

联立方程组
解得
，
．

所以
的面积
．

17. (本题13分) 解（Ⅰ）记A：该选手第二次抽到的不是科技类题目；

B：该选手第一次抽到科技类而第二次抽到非科技类；

C：该选手第一次和第二次都抽到非科技类题目.

则
. 6分

（Ⅱ）
的取值为0，1，2.

；
；
.

故
的分布列为：

0

1

2



P









于是，
的期望
. ------ 13分

18. （本题13分）（Ⅰ）证明：设
的中点为
.

在斜三棱柱
中，点
在底面
上的射影恰好是
的中点,

平面ABC. ……………………1分

平面
，

. ……………………2分

，

∴
.

，

∴
平面
. ……………………3分

平面
，

平面
平面
. ………………4分

解法一：（Ⅱ）连接
，
平面
，

是直线
在平面
上的射影. ………………5分

，四边形
是菱形.

.
. ……………6分

（Ⅲ）过点作
交
于点
，连接
.

，

平面
.
.

是二面角
的平面角. …………9分

设
，则

，

.

.

.
.

平面
，
平面
，
.
.

在
中，可求
.∵
，∴
.

∴
.

. ……………………………………10分

.

∴二面角
的大小为
. ………………12分

解法二：（Ⅱ）因为点
在底面
上的射影是
的中点，设
的中点为
，则
平面ABC.以
为原点，过
平行于
的直线为轴，
所在直线为轴，
所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设
，由题意可知，
.

设
，由
，得

.

又
.

.

. ……………………6分

（Ⅲ）设平面
的法向量为
.

则