2014届高三年漳州市五地八校数学模拟试卷(文)

角美中学数学备课组

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1. 已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?RA)∩B等于(　　)

A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1}

2．已知向量
，则向量
的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)．

A．1 B. C. D.

4．是虚数单位，若
，则
等于（ ）

A．　 B．
　 C．　　D．

5．某几何的三视图如图1所示，它的体积为（ ）

A．72π B 48π C.30π D.24π

6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)

A．2 B．2 C. D．1

7. 已知椭圆
的长轴在轴上，焦距为，则等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面。下列四个命题正确的是（ ）

A.
B.

C.
D.

9. 已知
，则
等于（　　）

A．
B． C．
D．

10．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图像可能是

11．设命题：函数
的图象向左平移
个单位长度得到的曲线关于轴对称；命题：函数
在
上是增函数．则下列判断错误的是（ ）

A．为假 B．
为真 C．
为假 D．
为真

12.设函数f(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是(　　)

A．[1，e] B．[1，1＋e] C．[e，1＋e] D．[0，1]

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．

13．已知点
满足
，则
的最小值是 ．

14、设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.

15. 设一直角三角形的两条直角边长均是区间
上的任意实数，则斜边长小于
的概率为 ．

16.如果直线
和函数
的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆
的内部或圆上，那么
的取值范围是_______________.

三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

某校高三（1）班共有
名学生，他们每天自主学习的时间全部在
分钟到
分钟之间，按他们学习时间的长短分
个组统计,得到如下频率分布表：

组别

分组

频数

频率



第一组









第二组









第三组









第四组









第五组









 （1）求分布表中，的值；

（2）王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方法从这
名学生中抽取
名进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？

（3）已知第一组学生中男、女生人数相同，在（2）的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又有女生的概率是多少？

18．（本小题满分12分）

设函数f(x)＝－sin2ωx－sinωx cos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近 的对称轴的距离为.

(1)求ω的值；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

19．（本小题满分12分）

设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.

(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{nan}的前n项和．

20．（本小题满分12分）

如图5所示，在四棱锥
中，
,
,
,是
的中点，是
上的点且
,
为
中
边上的高.

（1）证明：
；

（2）若
求三棱锥
的体积.

21.（本小题满分12分）

如图6，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.

（1）求p，t的值；

（2）求△ABP面积的最大值.

22.（本小题满分14分）

已知函数

(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；

(2)求
的单调区间；

(3）设
，若对任意
，均存在
，使得
，求的取值范围.

2014届高三年漳州市五地八校数学模拟试卷(文) 答案

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

C

B

C

B

A

A

C

C

D

A



二．填空题

13.
14. 15 15.
16.

12．A　[解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函数，对于b∈[0，1]，如果f(b)＝c＞b，则f(f(b))＝f(c)＞f(b)＝c＞b，不可能有f(f(b))＝b；同理，当f(b)＝d＜b时，则f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d＜b，也不可能有f(f(b))＝b；因此必有f(b)＝b，即方程f(x)＝x在[0，1]上有解，即＝x.因为x≥0，两边平方得ex＋x－a＝x2，所以a＝ex－x2＋x.记g(x)＝ex－x2＋x，则g′(x)＝ex－2x＋1. 当x∈时，ex＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0. 当x∈时，ex＞＞1，－2x＋1≥－1，故g′(x)＞0，综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[g(0)，g(1)]，即[1，e]，从而a的取值范围是[1，e]．

15. 【解析】设两条直角边长为
，

16. 【答案】
【解析】根据指数函数的性质，可知函数

恒过定点
.将点
代入
，可得
. 由于点
始终落在所给圆的内部或圆上，所以
. 由
解得
或
，这说明点
在以
和
为端点的线段上运动，所以
的取值范围是
.

三．解答题

17． 解：（1）
，
． …………4分

（2）设应抽取名第一组的学生，则

得
．

故应抽取2名第一组的学生． …………6分

（3）在（2）的条件下应抽取2名第一组的学生，记第一组中2名男生为
，2名女生为
．

按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有
种结果，列举如下：

． ……………9分

其中既有男生又有女生被抽中的有
这4种结果， ……10分

所以既有男生又有女生被抽中的概率为
. …………12分

18、解　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－×－sin 2ωx

＝cos 2ωx－sin 2ωx ＝－sin.依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.

(2)由(1)知f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.

所以－≤sin≤1.所以－1≤f(x)≤.

故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.

19、解　(1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a.因为a1≠0，所以a1＝1.

令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.

当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1

两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.

于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．

因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.

(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是

Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1.①

2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②

①－②得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.

从而Bn＝1＋(n－1)·2n.

20、解（1）取
的中点为
，连接
.

，又
平面

面
面

面
,

点
是棱
的中点
.

所以
平面
.

（2）是
中点
点到面
的距离
,

三棱锥
的体积

21、解：（1）由题意知得

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)，

由题意知，设直线AB的斜率为k(k≠0).

由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.故k·2m＝1.

所以直线AB方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.

由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，

所以Δ＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.

从而|AB|＝·|y1－y2|＝·.

设点P到直线AB的距离为d，则d＝.

设△ABP的面积为S，则S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.

由Δ＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1.

令u＝，0＜u≤，则S＝u(1－2u2)，

设S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤，则S′(u)＝1－6u2.

由S′(u)＝0得u＝∈，所以S(u)max＝S＝.

故△ABP面积的最大值为.

22、解：(1)由已知
， …………………………1分

，所以斜率
， …………………………2分

又切点
，所以切线方程为
)，即

故曲线
在
处切线的切线方程为
。 ………………3分

(2)
………………4分

①当
时，由于
，故
，
，所以
的单调递增区间为
.

………………………………5分

②当
时，由
，得
. ……………………6分

在区间
上，
，在区间
上，
，

所以，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
. …………7分

（3）由已知，转化为
. ………………8分

，所以
………………9分

由(2)知，当
时，
在
上单调递增，值域为，故不符合题意.

(或者举出反例：存在
，故不符合题意.) ………………10分

当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
的极大值即为最大值，