第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知向量
＝

　 A．1　　 　 　 B.
　　 C. 3　　　 　D.

2. 已知集合
，
，若集合
有且仅有一个元素，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

3. 已知数列
的前项和
，则
等于

A．
B．
C． D．

4. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个菱形，则该几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

5. 下列说法错误的是

A．“
”是“
”的充分不必要条件

B．命题“若
，则
”的否命题是：“若
，则
”

C．若命题
，则

D．若命题“
”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题

6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, 且当x<0时, f(x)=3x, 则f(
)的值为

A．-2 B.
C.
D. 2

7. 在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足
的概率为，则实数m＝

A . 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 已知直线
和直线
平行，
的最小值是

A.
B.
C.
D.

9. 设F1、F2分别为双曲线C:
的左、右焦点, A为双曲线的左顶点, 以F1F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M、N两点, 且满足MAN=120o, 则该双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

10．某同学在研究函数
的性质时，受到两点间距离公式的启发，将
变形为
，则
表示
（如图），下列关于函数
的描述：

①
的图象是中心对称图形；

②
的图象是轴对称图形；

③函数
的值域为
；

④方程
有两个解.

则描述正确的是

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.

11、已知i为虚数单位，则
=________

12. 运行右图所示框图的相应程序,若输入
的值

分别为
和
, 则输出M的值是______

13. 若
的展开式中
的系数为
，则
的值为________

14. 已知实数
满足条件
，则
的最大值为_______.

15. 在任意两个正整数间，定义某种运算（用
表示运算符号），当、都是正偶数或都是正奇数时，
，当、中其中一个为正偶数，另一个是正奇数时，
，则在上述定义中集合
的元素的个数

为

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分13分）

2014 年第二届夏季青年奥林匹克运动会在中国的南京市举行，组委会在南京某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.

男



女



9

9　8

8　6　5　0

7　4　2　1

1

15

16

17

18

19

7　7　8　9　9

1　2　4　5　8　9

2　3　4　5　6

0　1



(1) 如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2

人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

(2) 若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

17. (本小题满分13分)

己知函数
, (1) 当
时，求函数
的最小值和最大值； (2) 设ABC的内角A，B，C的对应边分别为、
、，且
，f(C)=2，若向量
与向量
共线，求，
的值．

18. （本小题满分13分）

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点的坐标为F（
，0），且长轴长是短轴长的
倍. （1）求椭圆C的方程； （2）直线y=x-1与椭圆C交于A、B两点，求弦长｜AB｜； （3）设P是椭圆C上的任意一点，MN是圆D：x2+(y-3)2=1的任意一条直径，求
的最大值.

19. （本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为直角梯形,
，
,平面
底面
，
为
中点，M是棱PC上的点，
．

（1）若点M是棱PC的中点，求证：

平面
；

（2） 求证：平面
底面
；

（3）若二面角M-BQ-C大小为
，且
，若
，试确定t的取值范围．

20. （本小题共14分）

已知函数
，
.

（1）求
的极值；

（2）设
，函数
在区间（2,3）上不是单调函数，求实数的

取值范围;

（3）当
时，若对任意的
,
恒成立，求的最小值.

21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。

（1） (本小题满分7分) 选修4—2：矩阵与变换

已知: 矩阵
,

(Ⅰ)若
，求矩阵的特征值和特征向量

(Ⅱ)若矩阵与矩阵为互逆矩阵，求

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，过点
的直线
与极轴的夹角

(Ⅰ)将
的极坐标方程写成
的形式

(Ⅱ)在极坐标系中，以极点为坐标原点，以极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系．

若曲线
：
(
为参数，
)与
有一个公共点在轴上，求的值

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知集合

(Ⅰ)求A的解集;

(Ⅱ)若
，求
的值域

2014年福安一中高三模拟考试 理科数学（参考答案）

一、选择题： 1.C 2. B 3. D 4. A 5. A 6. B 7. C 8. B 9.C 10．B

二、填空题： 11、2 12. 2 13.
14.
15、15

三、解答题：

16. 解：(1)根据茎叶图可知，有“高个子”12人，“非高个子”18人，

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，

所以选中的“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人．(3分)

用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－＝1－＝. 因此，至少有一人是“高个子”的概率是.(6分)

(2)依题意，ξ的取值为0，1，2，3.

P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝.(8分)

ξ

0

1

2

3



P











因此，ξ的分布列如下：

(10分)

∴Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.(13分)

17.解：


…3分

∵
，∴
，

∴
，从而

则
的最小值是
，最大值是2 …………6分

（2）
，则
，

∵
，∴
， …8分 ∴
，解得
.…9分

∵向量
与向量
共线，∴
，即
　　 ①…10分

由余弦定理得，
，即
　　②

由①②解得
. …………13分

18. 解：（1）设椭圆方程为
则c＝
，a＝
, ∴b=c=
, a=2

∴椭圆的方程为
……………………………………（3分）

（2）由
得3x2-4x-2=0 ,
，设A（x1,y1）, B(x2,y2）,则x1+x2=
, x1x2=-
∴|AB|=
…（8分）

（3）设P（x0,y0）,则
∴

＝

＝-（
………………………………（11分）

∵y0∈[-
] ∴当y0＝-
时，
取得最大值10+6

∴
的最大值是10+6
…………………………（13分）

，解得，
，

即的取值范围为
.

21.（1）解：(Ⅰ)特征多项式f(λ)＝＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3，

由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.

将λ1＝1代入得x＋y＝0，令x＝1，得y＝－1，

则特征值λ1＝1对应的一个特征向量为.

当λ2＝3时，得x－y＝0，特征值λ2＝3对应的一个特征向量为.

(Ⅱ)因为
,即
,
解得

（2）解：(Ⅰ)由图可知
,即

(Ⅱ)直线
的直角坐标为
，与轴的交点为
，所以

（3）解：(Ⅰ)由不等式几何意义可知的解集为

(Ⅱ)
的值域为