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| 简介：
福建省宁德市2014届普通高中毕业班5月质检 数学（理科）试卷 （2014年5月） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式： 样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s= V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ， 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第I卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题p：“若，则”的否命题是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若向量，，则以下向量中与垂直的是 A． B． C． D． 3．已知复数为虚数单位，集合，．若，则等于 A．1 B． C．2 D．4 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．4 5．若函数的最小正周期为，则 的值等于 A．2 B． C．1 D．0 6．下列函数中，为偶函数且在内为增函数的是 A． B． C． D． 7．已知随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间 内的概率和落在区间内的概率是相等的， 那么随机变量X的数学期望为 A． B．0 C．1 D．2 8．设是不等式组表示的平面区域内的任意一 点，向量，．若（）， 则的最大值为 A．3 B． C．0 D． 9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的 ，则输出的结果可能是 A． B．0 C．1.5 D．3 10．动曲线的初始位置所对应的方程为：，一个焦点为，曲线：的一个焦点为，其中，．现将沿轴向右平行移动．给出以下三个命题： ①的两条渐近线与的交点个数可能有3个； ②当的两条渐近线与的交点及的顶点在同一直线上时，曲线平移了个单位长度； ③当与重合时，若，的公共弦长恰为两顶点距离的4倍，则的离心率为3．其中正确的是 A． ②③ B． ①②③ C． ①③ D．② 第II卷 （非选择题共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．在的展开式中的系数为 （用数字表示）． 12．一个总体由编号为01，02，，49，50的50个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第2行的第3列的数0开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ． 78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 32 04 94 23 49 35 80 20 36 23 48 69 97 28 01 13．定义在上的函数过点，且，则的值等于 ． 14．已知函数若函数，则该函数的零点个数为 ． 15．若实数满足，则的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分) 某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下： 成绩 5 2 6 5 7 2 8 8 6 6 6 7 7 8 9 0 8 [来源:学+科+网] 根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良． （Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；[来源:Zxxk.Com] （Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率； （Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望． 17．(本小题满分13分) 在中，角所对的边分别为，且． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 18．(本小题满分13分) 如图，在三棱锥中， 平面， ，，为的中点． （Ⅰ）求证：⊥平面； （Ⅱ）若动点满足∥平面，问：当时，平面与平面所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．[来源:学科网] 19．(本小题满分13分) 在平面直角坐标系中，已知曲线上的任意一点到点的距离之和为． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）设椭圆：，若斜率为的直线交椭圆于点，垂直于的直线交曲线于点． （i）求证：的最小值为； （ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 20．(本小题满分14分) 已知数列满足，．函数． （I）求数列的通项公式； （II）试讨论函数的单调性； （III）若，数列满足，求证：． 21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知关于，的二元一次方程组为﹒ （Ⅰ）若该方程组有唯一解，求实数的取值范围; （Ⅱ）若，且该方程组存在非零解满足，求的值﹒ （2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的方程为，曲线的参数方程为 （Ⅰ） 将的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点为上的动点，为上的动点，求的最小值． （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 已知函数﹒ （Ⅰ）若，求的取值范围; （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求的最大值﹒ 理科数学试题参考解答及评分标准 （2014年5月） 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．B； 2．A； 3．B； 4．B； 5．C； 6．D； 7．C； 8．A； 9．C ； 10．A 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分． 11．15 ； 12．20； 13．； 14．3； 15．2． 三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．本小题主要考查茎叶图、众数、中位数、随机变量的分布列、期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）这组数据的众数为86，中位数为86；…………………4分 （Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为， 故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为，……………5分 设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A， 则；…………………7分 （Ⅲ）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3．………………8分 ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 …………………12分 ．…………………13分 17．本小题主要考查正、余弦定理、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）由，得， 所以， ，…………………2分 由，．…………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，即， 又为锐角三角形，故从而．…………………6分 由，所以， 故，， 所以…………………8分
．…………………11分 由，所以， 所以， 即．…………………13分 18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分． 解法一：（Ⅰ）在三棱锥中， 平面， ．…………………2分 又，为的中点， ∴．…………………4分 ∵， ∴⊥平面．…………………5分 （Ⅱ）∵，， ．…………………5分 由平面，故以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），由已知可得 ．…………………7分 由∥平面，故设．…………………8分 由，得， 故，即．…………………9分 设平面的法向量为，由，，得 令，得．…………………11分 又平面的法向量为，…………………12分 所以． 故平面与平面所成的锐二面角为定值，且该锐二面角的余弦值为．…13分 解法二：（Ⅰ）∵，， ．…………………1分 由平面，故以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），由已知可得 ．…………………2分 ∵，，， ∴，，…………………4分 ∴．， ∵， ∴⊥平面．…………………6分 （Ⅱ）∵∥平面， ∴在过点且与平面平行的平面内，设该平面为． 又， ∴在底面的射影在直线上， ∴又在过点且与平面垂直的平面内，设该平面为， ∴． ∴由， ∴直线与确定平面， ∴点运动时，平面与平面所成的锐二面角为定值．故不妨取，…8分 设平面的法向量为， 由，，得 令，得．…………………10分 又平面的法向量为， 所以．…………………12分 故平面与平面所成的锐二面角为定值，且该锐二面角的余弦值为．…13分 19．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解法一：（Ⅰ）由椭圆定义可知曲线的轨迹是椭圆，设的方程为， 所以，，则，故的方程．…………………3分 （Ⅱ）(ⅰ) 证明：当，为长轴端点， 则为短轴的端点，．…………………4分 当时，设直线：，代入， 整理得，即，， 所以．…………………6分 又由已知，可设：，同理解得，………………7分 所以……………8分 又， 所以的最小值为．…………………9分 （ⅱ）存在以原点为圆心且与直线相切的圆． 设斜边上的高为，由（Ⅱ）(ⅰ)得当时，；………………10分 当时，， 又，…………………12分 由，得， 故存在以原点为圆心，半径为且与直线相切的圆，圆方程为．…13分 解法二：（Ⅰ）同解法一； （I）(ⅰ) 证明：证明：当，为长轴端点， 则为短轴的端点，．…………………4分 当时，设直线：，代入， 整理得，即，， 所以．…………………6分 又由已知，可设：，同理解得，………………7分 所以……………8分 ，即． 故的最小值为．…………………9分[来源:学,科,网] （III）同解法一． 20．本题考查递推数列、函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．满分14分． 解：（I）∵， ∴当时，， ∴，即， ∴，对也成立， ∴数列的通项公式为．…………………3分 （II），……………4分 当时，，当时，；当时，， ∴函数的单调增区间是，减区间是；…………………5分 当时，令，解得，． 当时，，当时，；当时，； 时，， ∴函数的单调增区间是和，减区间是；……6分 当时，，， ∴函数的单调增区间是，无减区间．…………………7分 综上所述，当时，∴函数的单调增区间是，减区间是； 当时，函数的单调增区间是和，减区间是； 当时，函数的单调增区间是，无减区间． （III）当时，，． 由且，故．…………………8分 要证，即证，即证． 由（II）得在上单调递增， 所以， 所以，即成立．…………………11分 要证，由，即证， 即证，即证． 设，， 所以在上单调递增，， 从而，即成立． 综上，．…………………14分 21．（1）本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分． 解：（Ⅰ）该方程组有唯一解，即，， 解得．…………………3分 （Ⅱ）由题意可知当时，即为矩阵的特征值． 由，…………………5分 解得，.………………………………………7分 （2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分． 解：（Ⅰ）由已知得，即………3分 （Ⅱ）由得，所以圆心为，半径为1． 又圆心到直线的距离为,…………………5分 所以的最大值为．…………………………7分 （3）本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．[来源:学科网] 解：（Ⅰ）由已知得，,即．…………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得, 由柯西不等式，得．……………6分 当且仅当即时，的最大值为…………………7分
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