厦门外国语学校

2014届高三校适应性考试数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.

1．已知直线
经过抛物线
的焦点，则该直线的倾斜角为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若
集合
，则集合
等于（ ）

A．
B．

C．
D．

3．已知直线
和平面，其中
，
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知角
的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边

在直线
上，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5．如图所示的流程图，若输入的值为2，则输出的值为（ ）

A．5 B．7 C．125 D．127

6．某教研机构随机抽取某校
个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为
将数据分组成
,
,
,
,

,
,
,
时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）

7．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线
与该双曲线的一条渐近线垂直，

那么此双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．在等差数列
中，
，当
时，
，
为
的前项和，若

，则
等于（ ）

A．14 B．13 C．12 D．11

9．若函数
有且只有一个零点，则实数
等于（ ）

A．
B．
C． D．

10．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的
点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积
关于时间的函数为
，则下列图中与函数
图像最近似的是（ ）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11．已知复数
是纯虚数，则
等于 ．

12．已知函数
关于直线
对称，则二项式
展开式中各项的系数和为_______________．

13．如图13，在
中，
，
，若
为
的外心，则
的值是____________．

14．如图14是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为 ．

15．若数列
满足:存在正整数,对于任意正整数都有
成立则称数列
为周期数列,周期为,已知数列
满足
,
则有下列结论：

①若
,则可以取3个不同的值；

②若
,则数列
是周期为3的数列；

③对任意的
且
,存在
,使得
是周期为的数列；

④存在
且
,使得数列
是周期数列.

其中正确的结论有 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.

16．（本小题满分13分）

某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如下表：

月份x

1

2

3

4

5



（百件）

4

4

5

6

6



（Ⅰ）该同学为了求出关于的回归方程
，根据表中数据已经正确算出
，试求出
的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）

（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲从零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品均有质量问题。记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X，求X的分布列和数学期望。

17．（本小题满分13分）

已知等腰
，
，将
绕着边
旋转
角到
，连接
，为线段
的中点，是线段
上任一点。

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）当三棱锥
的体积达到最大时，点在线段
的什么位置时，直线
与平面
所成的角最大？为多少？

18．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，已知
为坐标原点，点的坐标为
，点的坐标为
，其中
且
.设
．

（Ⅰ）若
，
，
，求方程
在区间
内的解集；

（Ⅱ）根据本题条件我们可以知道，函数
的性质取决于变量、
和的值. 当
时，试写出一组，
，值，使得函数
满足“图像关于点
对称，且在
处
取得最小值” ．（请说明理由）

19．（本小题满分13分）

已知函数
的定义域是
且当
时，满足

（Ⅰ）判断函数
在
上的单调性，并说明理由；

（Ⅱ）三个同学对问题“已知、
N*且
证明
”提出各自的解题思路.

甲说：“用二项式定理将不等式的左右两边展开，运用放缩法即可证明”

乙说：“通过转化，构造函数，利用函数的单调性即可证明”

参考上述解题思路，结合自己的知识，请你证明此不等式．

20．（本小题满分14分）

如图，一个底面半径为
的圆柱被与其底面所成角为
的平面所截，其截面是一个椭圆C．

（Ⅰ）求该椭圆C的长轴长；

（Ⅱ）以该椭圆C的中心为原点，长轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求椭圆
的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程；

（Ⅲ）设（Ⅱ）中的两切点分别为
，求点到直线
的距离的最大值和最小值．

21．本题有(1)(2)(3)三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则安所做的前两题计分．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知直线
在矩阵
对应的变换作用下变为直线
.

（Ⅰ）求实数，
的值；

（Ⅱ）若点
在直线
上，且
，求点的坐标．

（2）（本题满分7分）选修4- 4坐标系与参数方程

已知直线
：
（为参数）；椭圆
：
（
为参数）

（Ⅰ）求直线
倾斜角的余弦值；

（Ⅱ）试判断直线
与椭圆
的交点个数。

（3）（本题满分7分）选修4-5不等式选讲

已知函数
且不等式
的解集为
.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设函数
，若不等式
对任意
且
恒成立，求x的取值范围．

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2014届高三校适应性考试数学（理科）试卷参考答案

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

B

C

A

D

D

A

D

C

D

B



10.【答案】B

【解析】视角一:观察载体图:重叠部分面积始终不为0，排除C。因圆的最初位置的重叠部分面积最大，故面积是由最大开始减少的，排除A。由最初位置，圆滚动时露在三角形外的弓形面积每相同前移动量增加就越多，是非线性的，排除D。故选B.

视角一:函数图像应具以下特征:周期性变化，函数值不为0，从初始位置开始是先减少的，非线性变化，故选B。

视角三:从最多共性入手，从初始位置开始函数值是先减少的有B、C、D，非线性的有A、B、C，函数值不为0的有A、B、D，可见共性最全的只有B，故选B.

填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．
12．64 13．8 14．
15．①②③

三、解答题（本大题共6小题，满分80分）

16．解：（1）

…… 2分

且
，代入回归直线方程可得
……4分

（2）X的取值有0,1,2,3

……8分

其分布列为：

X

0

1

2

3



P












…………12分

17．（1）证明：

(2)由(1)得

,

，设

18.解：（1）由题意
，

当
，
，
时，
，

，则有
或
，
.

即
或
，
.

又因为

，故
在
内的解集为
.

（2）解：因为
，设周期
.

由于函数
须满足“图像关于点
对称，且在
处
取得最小值”.

因此，根据三角函数的图像特征可知，

，
.

又因为，形如
的函数的图像的对称中心都是
的零点，故需满足
，而当
，
时，

因为
，
；所以当且仅当
，
时，
的图像关于点
对称；此时，

，
.

（i）当
时，
，进一步要使
处
取得最小值，则有

，
；又
，则有
，
；因此，由
可得
，
；

（ii）当
时，
，进一步要使
处
取得最小值，则有

，
；又
，则有
，
；因此，由
可得
，
；

综上，使得函数
满足“图像关于点
对称，且在
处
取得最小值”的充要条件是“

当
时，
（
）或当
时，
（
）”.

19. 解：（1）

又
所以当
时，

即

因此函数
在
上是单调递减函数。

（2）
设
且

在
内为减函数

20．解：（1）

（2）椭圆C的方程为：

当两切线
的斜率有一条不存在（另一条斜率必为0）时，易得此时点
（四个）；

当两切线
的斜率均存在且不为0时，设
，设

则
，

联立
，

因为
与椭圆相切，故
，于是得到
，同理
，于是

两式相加得
，即
，显然
也在此曲线上，综上，动点的轨迹方程为
；

（3）设动点
，则
，下先证明直线
的方程为

设两切点
，设过
的切线：
代入椭圆方程得：

由
得，

又

，代入得：

于是过
的切线
当过
的切线斜率不存在时仍然符合上式，

同理过
的切线
而
均过
，故

由此可得直线
的方程为

所以点到直线
的距离
，

而
，所以点到直线
的距离的最大值和最小值分别为

21．（选考内容）

（1）（选修4—2：矩阵与变换）

解：（Ⅰ）设直线
上一点
在矩阵对应的变换下得点
，

则
，
代入直线
，得
，
；……5分

（Ⅱ）点
在直线
上，
，

由
，得
，
，
.……………………10分

（2）（选修4—4坐标系与参数方程）

解：（1）法一：将直线
化为标准式：
（
为参数）直线
倾斜角的余弦值为

法二：将直线参数方程化为普通方程得：
，得斜率为
，则倾斜角的余弦值为

(2)椭圆
的普通方程为：

得：


所以没有交点。

（3）（选修4—5不等式选讲）

解：（1）

得：

（2）不等式
对任意
且
恒成立转化为
对任意
且
恒成立。

因为

所以

所以解不等式：
得