祁东育英实验学校2014届高考考前训练题

理科数学（2014.6.2.）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）

1. 命题“若α=
，则tanα=1”的逆否命题是

A．若α≠
，则tanα≠1 B．若α=
，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α=

2.已知复数

（
是虚数单位），
，则

A.
B.
C.
D.

3.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的

A.
? B.
? C.
? D.
?

4. 一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（ ）

5．设
，则二项式
展开式中的第4项为

A．
B．
C．
D．

6.在正项等比数列
中，已知
，
，
，则

A. 11 B. 12 C. 14 D. 16

7. 某工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100(5x＋1－)元．若生产该产品900千克，则该工厂获得最大利润时的生产速度为

A．5千克/小时 B．6千克/小时 C．7千克/小时 D．8千克/小时

8．设双曲线
的中心为点
,若有且只有一对相交于点
、所成的角为
的直线
和

,使
,其中
、
和
、
分别是这对直线与双曲线
的交点,则

该双曲线的离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9.给定命题
：函数
和函数
的图像关于原点对称；命题
：当

时，函数
取得极小值. 下列说法正确的是

A.
是假命题 B.
是假命题

C.
是真命题 D.
是真命题

10. 定义在R上的函数
满足
，且当
时，

，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题(本大题包括5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题纸中的横线上).

(一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分）

11.(选修4-l:几何证明选讲）如图所示，AB是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，则DE= .

12.(选修4-4:坐标系与参数方程）已知点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线
上，则|PF|= .

13 .（不等式选讲）设函数

＞1），且
的最小值为
，若
，则
的取值范围 .

（二）必作题（14~16题）

14. 已知数列
是单调递增的等差数列， 从
中取走任意三项， 则剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率
.

15. 在锐角
中，BC=1，B=2A，则
的值等于 ；边长AC的取值范围为 ；

16.若一个正四面体的表面积为
，其内切球的表面积为
，则
____________.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（本小题满分12分）

在
中,角
的对边分别为
,且
.

(Ⅰ)求
的值;

(Ⅱ)若
,
,求向量
在
方向上的投影.

18.（本题满分12分）

某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需时间统计如下：

办理业务所需时间（分）

1

2

3

4

5



 概 率

0.1

0.4

0.3

0.1

0.1



从第一个顾客开始办理业务时计时.

估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;

用x表示至第二分钟末已办完业务的人数，球X的分布列及期望.

19.（本小题满分12分）

已知数列
中，
，当
时，
.

(1) 求数列
的通项公式.

(2) 设
,数列
前
项的和为
,求证:
.

20.（本小题满分12分）

如图1，直角梯形
中，
，
分别为边
和
上的点，且
，
．将四边形
沿
折起成如图2的位置，使
．

（1）求证：

平面
；

（2）求平面
与平面
所成锐角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

如图，线段
为半圆
所在圆的直径，
为半圆圆心，且
，
为线段
的中点，已知
，曲线
过
点，动点
在曲线
上运动且保持
的值不变

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线
的方程；

(2)过
点的直线
与曲线
相交于不同的两点
，且
在
之间，设
，求
的取值范围.

22.（本小题满分13分）

已知函数

(1) 若
,求
在点
处的切线方程.

（2） 令
，求证：在区间
上，
存在唯一极值点.

(3) 令
,定义数列
:
.当
且

时,求证:对于任意的
,恒有
.

祁东育英实验学校2014届高考考前训练题

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. C 2. B 3. A 4. B 5. A 6. C 7.B 8.A 9. B 10. B

简答与提示：

2.B 由题意可知,因此
，化简得
，
则
，由
可知
，仅有
满足，故选B.

3.A　由于要取
，
，
中最大项，输出的
应当是
，
，
中的最大者，所以应填比较
与
大小的语句
，故选A.

5.C　由
与
可得
，
，因此
，所以
，故选C.

9.B　
命题中

与
关于原点对称，故
为真命题；
命题中
取极小值时，
，则

，故
为假命题，则
为假命题，故选B.

10. 【答案】D【解析】由题意,分
或
两种情况:

(1)
时,
,此时
在
上单调递减, 故

(2)
时,
,此时
在
上单调递增,故

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.
12.4 13.
14.
15.（1）2， （2）（
，
）

16.设正四面体棱长为
，则正四面体表面积为
，其内切球半径为正四面体高的
，即
，因此内切球表面积为
，则
.

三、解答题（本大题必做题5小题，三选一中任选1小题，共70分）

17. 在
中,角
的对边分别为
,且
.

(Ⅰ)求
的值;

(Ⅱ)若
,
,求向量
在
方向上的投影.

【答案】解:
由
,得

,

即
,

则
,即

由
,得
,

由正弦定理,有
,所以,
.

由题知
,则
,故
.

根据余弦定理,有
,

解得
或
(舍去).

故向量
在
方向上的投影为

18. 解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用頻率估计概率，得Y的分布列如下：

Y

 1

 2

 3

 4

 5



 P

 0.1

 0.4

 0.3

 0.1

 0.1



设事件A：“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形;

①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理办理业务所需的时间为1分钟；③第一个顾客和第二个顾客办理办理业务所需的时间都为2分钟。

P(A)=P(Y=1).p(Y=3)=P(Y=3).P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.22.

(2)解法1：X所有可能取的值为0、1、2.则

P(X=0)=P(X＞2)=0.5，p(x=1)=p(y=1)p(y>1)+p(y=2)=0.49,p(x=2)=p(y=1) p(y=1)=0.01.所以X的分布列如下：

X

0

 1

 2



 P

 0.5

 0.49

 0.01



所以E(X)=0.51

19.解:1)当n≥2时，2
=
-1，
2(
+1)=
+1

（2）如图以
中点为原点，
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，

所以
的中点坐标为
因为
，所以

易知
是平面
的一个法向量，

设平面
的一个法向量为

由

令
则
，
，

将x1=
x2代入得

,所以原命题得证. …… 8分

(3)
,
,

,